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Integration dieser drei Funktionen?

Schüler Gesamtschule, 9. Klassenstufe

Tags: Integralrechnung, Partialbruchzerlegung, Partielle Integration, Substitution

Tamburin442 aktiv_icon

06:11 Uhr, 05.05.2015

Hallo.

Ich habe eine menge an aufgaben gefunden und konnte bei diesen Drei aufgaben kaum weiterkommen:

1.

\int \frac{1}{2 \cdot sin (x) - cos (x)} d x

\int sin (Π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x

\frac{2 x + 3 x^{2}}{1 + \sqrt{x} + x} d x

Ich habe mir nur Gedanken über die Art der Integration:

Bei

1)

würde ich die " Integration durch Substitution" nehmen.

Bei

2)

würde ich die " partielle Integration " nehmen

Bei

3)

würde ich die " Integration durch Partialbruch-Zerlegung" nehmen.

Hier habe alles versucht aber es kommt nichts gescheites bei raus.

Bei

1)

kam ich garnicht weit

Bei

2)

Hab ich versucht zu integrieren, aber ich komme nie an einem Punkt wo schluss ist, es geht immer weiter!

Bei

3)

bekam ich noch nichteinmal die Nullstellen heraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

06:21 Uhr, 05.05.2015

1 .)

Substituiere

z = tan (\frac{x}{2})

Das neue Integral auf

{tanh}^{- 1}

"trimmen".

Bummerang

09:06 Uhr, 05.05.2015

Hallo,

bei der 3 solltest Du wohl zunächst mal

z = \sqrt{x}

substituieren, dann hast Du eine "normale" gebrochenrationale Funktion! Nach der Polynomdivision erhältst Du einen Summanden, der eine einfach zu integrierende ganzrationale Funktion ist, und einen Summanden der Form

\frac{a \cdot z + b}{z^{2} + c \cdot z + d}

. Solch einen Term kann man umformen zu

\frac{a \cdot z + b}{z^{2} + c \cdot z + d} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2 \cdot z + 2 \cdot \frac{b}{a}}{z^{2} + c \cdot z + d} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2 \cdot z + c + 2 \cdot \frac{b}{a} - c}{z^{2} + c \cdot z + d} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2 \cdot z + c}{z^{2} + c \cdot z + d} + \frac{a}{2} \cdot (2 \cdot \frac{b}{a} - c) \cdot \frac{1}{z^{2} + c \cdot z + d}

Der erste Summand kann ohne Substitution gelöst werden, da der eine Faktor konstant ist und der andere die Form

\frac{f' (x)}{f (x)}

hat. Der zweite Summand besteht zwei Faktoren, bei denen der eine wieder konstant ist(

\frac{a}{2} \cdot (2 \cdot \frac{b}{a} - c) = b - \frac{a \cdot c}{c})

und für den anderen Faktor gibt es in guten Formelsammlungen eine Lösung für

\frac{1}{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c}

Atlantik aktiv_icon

09:06 Uhr, 05.05.2015

3 .) \int \frac{2 x + 3 x^{2}}{1 + \sqrt{x} + x} d x

Nullstellen des Zählers:

2 x + 3 x^{2} = 0

x \cdot (2 + 3 x) = 0

x_{1} = 0

2 + 3 x = 0

x_{2} = - \frac{2}{3}

Nullstellen des Nenners:

1 + \sqrt{x} + x = 0

\sqrt{x} = - x - 1 |^{2}

x = x^{2} + 2 x + 1

x^{2} + 1 x = - 1 |

\to

komplexe Lösung

mfG

Atlantik

Bummerang

09:25 Uhr, 05.05.2015

Hallo,

bei Aufgabe 2 findest Du in guten Formelsammlungen auch die Lösung zu

sin (a \cdot x) \cdot cos (b \cdot x),

so dass hier eigentlich gar nichts zu machen wäre. Aber durch partielle Integration geht es natürlich auch und es hört nicht klassisch auf, wie bei

x^{2} \cdot e^{x}

sondern Du wirst irgendwann mal

\int f (x) \cdot g (x) d x = b l a b l a b l a - \int a \cdot f (x) \cdot g (x) d x

finden und das stellt man dann einfach um:

\int f (x) \cdot g (x) d x = b l a b l a b l a - \int a \cdot f (x) \cdot g (x) d x

\int f (x) \cdot g (x) d x + \int a \cdot f (x) \cdot g (x) d x = b l a b l a b l a

(1 + a) \cdot \int f (x) \cdot g (x) d x = b l a b l a b l a

\int f (x) \cdot g (x) d x = \frac{b l a b l a b l a}{1 + a}

funke_61 aktiv_icon

12:27 Uhr, 05.05.2015

wichtige Ergänzung zu Respons Beitrag:
zu

1) \int \frac{1}{2 sin x - cos x} d x

zur Substitution

z = tan (\frac{x}{2})

muss man zusätzlich wissen, dass sich so alle Winkelfunktionen als "gebrochen rationale Funktionen" datstellen lassen.
Hier gibt dies

sin x = \frac{2 z}{1 + z^{2}}

cos x = \frac{1 - z^{2}}{1 + z^{2}}

Eine zu dieser Aufgabe passende Ableitung der Substitution wäre

z . B

z = tan (\frac{x}{2}) \to \frac{d z}{d x} = \frac{1}{1 + cos x} \to d x = (1 + cos x) d z

Siehe bei Bedarf auch:

http//de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Darstellung_durch_den_Tangens_des_halben_Winkels

und

http//de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis#Rationale_Parametrisierung

;-)

Tamburin442 aktiv_icon

19:07 Uhr, 05.05.2015

Wow, danke für die vielen antworten.

Ich fange einfach mal der reihe nach an:

Also Aufgabe

1)

\int \frac{1}{2 \cdot sin (x) - cos (x)} d x

@ Funke

Du hast gesagt , dass sich alle Winkelfunktionen auch als Gebrochenrationale Funktion darstellen lassen.

Ich bin etwas herumgesurft und habe auch vieles dazu gefunden, unter anderem auch dein Link, vielen dank. habe Wieder was neues gelernt ( noch nie davon gehört).

Wenn ich das richtig verstanden habe kann ich

sin (x)

und

cos (x)

auch umschreiben, dann sieht das ganze so aus :

\frac{1}{2 \cdot (\frac{2 z}{1 + z^{2}}) - \frac{1 - z^{2}}{1 + z^{2}}}

für

z = tan (\frac{x}{2})

Wenn ich das ausrechne steht da:

\frac{1}{\frac{4 z - 1 + z^{2}}{1 + z^{2}}}

wenn ich weiter kürze steht da:

\frac{z^{2} + 1}{z^{2} + 4 z - 1}

und jetzt?

Respon

19:12 Uhr, 05.05.2015

Du hast noch etwas vergessen:

z = tan (\frac{x}{2}) \Rightarrow d z = (1 + {tan}^{2} (\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} d x \Rightarrow d x = \frac{2}{1 + z^{2}} d z

Tamburin442 aktiv_icon

19:17 Uhr, 05.05.2015

Hallo.

ja hab ich vergessen. Ich mache diese art von Substitution

, d . h

. das Umschreiben der Winkelfunktionen in Gebrochen-rationale -Funktionen und die dazugehörige Substitution zum ersten mal... :-)

Danke für den Tipp.

Also hab ich jetzt da stehen:

\int \frac{2}{z^{2} + 4 z - 1} d z

Tamburin442 aktiv_icon

19:19 Uhr, 05.05.2015

Partialbruchzerlegung?

die Nullstellen lauten

z_{1} = - 2 + \sqrt{5}

und

z_{2} = - 2 - \sqrt{5}

ist das richtig oder gibt es einen anderen weg ab jetzt?

Tamburin442 aktiv_icon

19:20 Uhr, 05.05.2015

Ich hab jetzt gerade etwas zu dem für mich neuen Thema gefunden, allerdings hab ich das nicht ganz verstanden, kann mir das jemand erklären?

Siehe Anhang

Respon

19:23 Uhr, 05.05.2015

Das hast du schon gemacht ( siehe Funke_61 weiter oben ).
Jetzt geht es nur mehr um das Integral

\int \frac{2}{z^{2} + 4 \cdot z - 1} d z

Tamburin442 aktiv_icon

19:31 Uhr, 05.05.2015

" Das hast du schon gemacht"

\to

Worauf beziehst du dich? Hab ich schon die Partialbruchzerlegung gemacht????

In meiner Formelsammlung steht:

\int \frac{2 x + p}{{(x^{2} + p \cdot x + q)}^{v}} d x = \frac{1}{1 - v} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + p \cdot x + q)}^{v - 1}}

und

\int \frac{1}{x^{2} + p \cdot x + q} d x = \frac{1}{a} \cdot

arctan

(\frac{x + b}{a})

wobei

: a = \sqrt{q - b^{2}}

und

b = \frac{P}{2}

kann ich davon irgendwas hier anwenden. So direkt denke ich nicht, oder?

Respon

19:34 Uhr, 05.05.2015

Du hast die Substitution durchgeführt. Jetzt musst du das Integral

\int \frac{2}{z^{2} + 4 \cdot z - 1} d z

auch berechnen.

Tamburin442 aktiv_icon

19:35 Uhr, 05.05.2015

aLSO JETZT Partialbruchzerlegung als nächstes? :-)

Respon

19:36 Uhr, 05.05.2015

Das wäre EINE Möglichkeit.

Tamburin442 aktiv_icon

19:37 Uhr, 05.05.2015

ok, andere Frage.

Was wäre am einfachsten und schnellsten???

Respon

19:38 Uhr, 05.05.2015

Die Methode, die du am sichersten beherrschst.

Tamburin442 aktiv_icon

19:40 Uhr, 05.05.2015

Ich möchte gerne zu schnelleren und effektiveren Lösungen kommen. Was neues zu lernen wäre glaube ich mehr als hilfreich, auch für die Zukunft :-)

was würdest du jetzt nehmen um dies zu Integrieren?

Respon

19:41 Uhr, 05.05.2015

Nachdem du bereits die Nullstellen des Nenners berechnet hast - Partialbruchzerlegung.

Tamburin442 aktiv_icon

19:42 Uhr, 05.05.2015

ok. Sag mir doch bitte einfach was DU nehmen würdest um dies zu lösen....

Respon

19:44 Uhr, 05.05.2015

Partialbruchzerlegung.
( Die zweite Möglichkeit steht ganz oben in meinem ersten Hinweis. Dies benötigt allerdings etwas "Spezialwissen" )

Tamburin442 aktiv_icon

20:07 Uhr, 05.05.2015

ok. danke.

Ich bin jetzt fertig:

\int \frac{2}{z^{2} + 4 z - 1} d z

Nullstellen des Nenners:

z_{1} = - 2 + \sqrt{5}

z_{2} = - 2 - \sqrt{5}

Partialbruchzerlegung:

\frac{2}{(z + 2 - \sqrt{5}) (z + 2 + \sqrt{5})} = \frac{A}{z + 2 - \sqrt{5}} + \frac{B}{z + 2 + \sqrt{5}}

. .

A = \frac{1}{\sqrt{5}}

und

B = - \frac{1}{\sqrt{5}}

\int \frac{2}{z^{2} + 4 z - 1} d z = \int \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{z + 2 - \sqrt{5}} + \frac{- \frac{1}{\sqrt{5}}}{z + 2 + \sqrt{5}} d z

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ln | z + 2 - \sqrt{5} | - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot | z + 2 + \sqrt{5} | + C

Rücksubstitution:

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ln | tan (\frac{x}{2}) + 2 - \sqrt{5} | - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ln | tan (\frac{x}{2}) + 2 + \sqrt{5} | + C

Zusammenfassung (Logarithmusgesetze):

= \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ln | \frac{tan (\frac{x}{2}) + 2 - \sqrt{5}}{tan (\frac{x}{2}) + 2 + \sqrt{5}} | + C

Und ? Richtig?

Roman-22

20:07 Uhr, 05.05.2015

Auch ich würde eher zur PBZ greifen, aber der Vollständigkeit halber:

Es gilt

\int \frac{d x}{1 - x^{2}} = artanh (x) + C

.

Damit ist (ab jetzt unter Vernachlässigung der Integrationskonstanten)

\int \frac{d z}{z^{2} + 4 z - 1} = \int \frac{d z}{(z + 2)^{2} - 5} = \frac{1}{5} \cdot \int \frac{d z}{{(\frac{z + 2}{\sqrt{5}})}^{2} - 1} = \frac{1}{5} \cdot artanh (\frac{z + 2}{\sqrt{5}}) \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot artanh (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (z + 2))

Im vorletzten Schritt habe ich, ohne sie explizit anzuschreiben, lineare Substitution verwendet:

\int f (a \cdot x + b) d x = F (a \cdot x + b) \cdot \frac{1}{a}

Der Zusammenhang mit der Lösung, die du vermutlich bei Verwendung der PBZ erhältst, wird hergestellt über die Beziehung

artanh (x) = \frac{1}{2} \cdot (ln (1 + x) - ln (1 - x))

Respon

20:10 Uhr, 05.05.2015

Oder shot

Tamburin442 aktiv_icon

20:51 Uhr, 05.05.2015

@ Respon

Klasse! Laut deinem Anhang bedeutet das, ich habe alles richtig berechnet :-)

@ Roman

ganz schön schwer sieht das aus! Hast du im 2.schritt die quadratische ergänzung angewendet?

Tamburin442 aktiv_icon

20:54 Uhr, 05.05.2015

@Roman

noch paar fragen zu deiner Variante:

1. du hast die Funktiion nicht in die Form

\frac{1}{1 - x^{2}}

gebracht , sondern in
die Form

\frac{1}{x^{2} - 1}

ist das ein Unterschied?

2. Wieso ändert sich im letzten schritt das argument von artanh()?

Roman-22

21:27 Uhr, 05.05.2015

"
1. du hast die Funktiion nicht in die Form 11-x2 gebracht , sondern in
die Form 1x2-1 ist das ein Unterschied?
"

Ja, doch! Das ist schlicht ein Fehler, der mir unterlaufen ist und meine Rechnung ist daher falsch - jedenfalls ist das Vorzeichen zu ändern, denn es gilt natürlich

\int \frac{d x}{x^{2} - 1} = - artanh (x) + C

. Danke für den Hinweis!

"
2. Wieso ändert sich im letzten schritt das argument von artanh()?
"

Reine Kosmetik. Man trachtet in der Regel, bei Brüchen den Nenner rational zu halten, also habe ich anstelle von

\frac{1}{\sqrt{5}}

den Ausdruck

\frac{\sqrt{5}}{5}

gewählt.
Inwieweit dies auch schon bei Zwischenergebnissen sinnvoll ist kann man sicher lang diskutieren ;-)

Zur vorherigen Frage (quadratische Ergänzung): Ja, da habe ich den Integranden durch "gschicktes Basteln" in die Form

\int \frac{d z}{(a \cdot z)^{2} - 1}

gebracht. Mit etwas Übung ist das dann auch nicht mehr so schwer und mysteriös (und mit noch ein wenig mehr Übung würde man dann vermutlich auch das Vorzeichen richtig haben :-)
Man könnte auch eine Substitution explizit durchführen, aber einfacher wäre das dann wohl auch nicht wirklich.

Tamburin442 aktiv_icon

22:07 Uhr, 05.05.2015

Deine Lösung ist wohl die elegantere.

Ich bleibe glaube ich lieber bei meiner. Auch wenn es etwas länger dauert. So beherrsche ich die Partialbruchzerlegung ganz gut. :-) Trotzdem danke ich dir,

zu den anderen aufgaben werde ich noch was schreiben es geht mit nummero 2 weiter.

\int sin (Π + x) \cdot cos (2 x) d x

Ich versuche es erstmal mit der partiellen Integration. Da die Lösung auf der Formelsammlung bestimmt kompliziert aussieht.

Ich werde das jetzt rechnen, und den tipp von Oben beachten ...mal sehen wie weit ich komme.

Respon

22:38 Uhr, 05.05.2015

Es gibt ja meistens verschiede Möglichkeiten, ein Integral zu berechnen.
Bezüglich der trigonometrischen Funktionen gibt es zahlreiche Identitäten

(z . B

. Summentheoreme ). Manchmal kommt man mit geeigneten Umformungen schneller ( oder bequemer ) ans Ziel.

z . B

.
Folgendes gilt:

sin (a) + sin (b) = 2 \cdot sin (\frac{a + b}{2}) \cdot cos (\frac{a - b}{2})

Der rechtsstehende Term könnte zu unserem Integranden passen.

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot \int 2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x

Ich setze nun

\frac{a + b}{2} = π \cdot x

\frac{a - b}{2} = 2 \cdot x

Nun läßt sich a und

b

bestimmen:

a = x \cdot (π + 2)

und

b = x \cdot (π - 2)

Anwenden der oben stehenden Formel:

\frac{1}{2} \cdot \int 2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot \int (sin (x \cdot (π + 2)) + sin (x \cdot (π - 2))) d x

Dieses Integral läßt sich aber sofort berechnen:

\frac{1}{2} \cdot \int (sin (x \cdot (π + 2)) + sin (x \cdot (π - 2))) d x = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{cos (x \cdot (π + 2))}{π + 2} - \frac{cos (x \cdot (π - 2))}{π - 2})

Tamburin442 aktiv_icon

22:40 Uhr, 05.05.2015

So...Fertig:

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x \to sin (π \cdot x) = u (x)

und

cos (2 x) = v' (x)

\to \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x = [\frac{sin (π \cdot x) \cdot sin (2 x)}{2}] - \frac{Π}{2} \int cos (Π \cdot x) \cdot sin (2 x)

... ... ... ... . cos (Π \cdot x) = u (x)

und

sin (2 x) = v' (x)

\to \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x = [\frac{sin (π \cdot x) \cdot sin (2 x)}{2}] + \frac{Π}{4} \cdot [cos (π \cdot x) \cdot cos (2 x)] - \frac{Π}{4} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x

. .

. So und jetzt kommt der schritt den du mir oben beigebracht hast
hier

: - \frac{Π}{4} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x

rüberbringen. Und das mach ich jetzt.

\to (1 + \frac{Π}{4}) \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 x) + \frac{Π}{4} \cdot cos (Π \cdot x) \cdot cos (2 x) | : (1 + \frac{Π}{4})

\to \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 x) d x = \frac{\frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 x) + \frac{Π}{4} \cdot cos (Π \cdot x) \cdot cos (2 x)}{1 + \frac{Π}{4}}

Das wars, ist das richtig? Kann man das so stehen lassen, oder kann man das noch weiter zusammenfassen oder so? Sieht etwas komisch aus das ergebnis :-)

Roman-22

23:03 Uhr, 05.05.2015

> Deine Lösung ist wohl die elegantere.
Das würde ich nicht sagen. Ich hab ja auch eingangs geschrieben, dass ich selbst auch die PBZ wählen würde. Die von mir hier vorgestellte Methode wirkt zwar kürzer, aber auch nur deshalb, weil ich Substitutionen nicht explizit anschreibe sondern mir lieber ein paar zusätzliche Regeln merke und "bastle". Dadurch wird aber die Angelegenheit auch fehleranfälliger (wie man ja gesehen hat).
Abgesehen davon mag ein artanh() als Ergebnis ja recht kompakt aussehen, in aller Regel ist aber ein Ergebnis in ln() in den meisten Fällen für die weitere Verwendung brauchbarer. Und wenn man nun diese Umwandlung auch noch anschließend durchführt, dann relativiert sich die scheinbare Eleganz gleich nochmals.
Im Grunde ist es abhängig vom Verwendungszweck und der persönlichen Vorliebe.

Außerdem schadet es nie, mehrere Methoden zur Wahl zu haben.

Lautet die Angabe etwa

\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 9} = ?

, dann funktioniert PBZ wegen der konjugiert komplexen Nennernullstellen nicht mehr und man muss sich irgendwie anders behelfen.

Durch "Bastelei", so wie oben gezeigt, kommt man dann aber leicht(?) auf

\dots = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot (x + 2))

Respon

23:19 Uhr, 05.05.2015

Dein Ergebnis ( mit partieller Integration ) .
Wie die Probe mittels Ableitung zeigt, ist dir irgendwo ein Fehler bezüglich konstanter Faktor bzw. Vorzeichen passiert.

Bummerang

09:15 Uhr, 06.05.2015

Hallo,

"Ich versuche es erstmal mit der partiellen Integration. Da die Lösung auf der Formelsammlung bestimmt kompliziert aussieht."

Woher willst Du das wissen? Aaahh, Du hast eine Glaskugel oder Kaffeesatz! Deine Lösung ist:

Respon

Die aus der Formelsammlung ist

Integral

Mmmhh, egal, ob Du nun Glaskugel oder Kaffeesatz verwendet hast, versuch' das nächste Mal was anderes, etwas, das bessere Voraussagen macht!

Roman-22

09:37 Uhr, 06.05.2015

Hallo Bummerang!

Du scheinst hier in kreativer Weise zwei Beiträge verschiedener Teilnehmer zusammen zu mischen und daher ist nicht ganz klar, an wen sich nun deine abschließende Bemerkung richtet. Die Bedenken, was die Lösung aus der Formelsammlung anlangt, und der Vorsatz, die Aufgabe mit partieller Integration lösen zu wollen, stammten vom Fragesteller.
Die Lösung, die du zitierst, ist aber jene, die Respon gepostet hat.

Außerdem ist mir unklar, was dich an der Lösung von Respon stört. Dass sie diese nicht einfach aus einer Formelsammlung zitiert sondern schlüssig aus einem Additionstheorem herleitet, das kann es ja sicher nicht sein, oder.

Und für

a = 2

und

b = π

stellt sich doch auch bei der von dir zitierten Formel genau die Lösung ein, die Respon ganz ohne Kristallkugel, Kaffeesatz oder auch Eingeweideschau hergeleitet hat. Du musst nur beachten, dass einerseits

2 - π = - (π - 2)

, andererseits

cos (- x) = cos (x)

gilt und die Addition kommutativ ist!

Bummerang

10:01 Uhr, 06.05.2015

Hallo Roman-22,

da habe ich mich nicht ganz korrekt ausgedrückt, das richtete sich natürlich an die Person, die den zitierten Satz zur Formelsammlungslösung geschrieben hatte, an Tamburin442. Dass mir klar war, dass die folgende Berechnung nicht von Tamburin442 stammte, siehst Du, wenn Du mal Deine Maus über das Bild schiebst, dann siehst Du, dass das Image "Respon" heisst. Insofern war ich da gar nicht so kreativ sondern eher ungenau.

An der Lösung von Respon stört mich gar nichts, sie ist ja identisch zu der in der Formelsammlung! Das habe ich zwar nicht explizit hingeschrieben, aber das sollte eigentlich klar sein, denn dass

π - 2 = - (2 - π)

ist und der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse ist, setze ich als bekannt voraus. Ich weiss nicht, ob ich es als "mich stört" bezeichnen würde, ich finde nur, dass man gerne eine Lösungsmöglichkeit ablehnen kann, aus welchen Gründen auch immer! Allerdings sollte man dann vorher wenigstens mal einen Blick darauf geworfen haben, so dass die angeführten Gründe auch irgendwie zutreffen, Tamburin442 muss sich da auf andere Mittel als seine Augen verlassen haben! Als Tamburin442 die Lösung von Respon gesehen hat, wurde die jedenfalls nicht als "kompliziert" eingestuft, obwohl sie identisch ist!

Tamburin442 aktiv_icon

10:32 Uhr, 06.05.2015

Ich möchte diese aufgabe gerne mit der partiellen integration lösen , ok? Warum gleich so empfindlich, hast du etwa die formel erfunden und fühlst dich jetgt persönlich beleidigt ;-). ?

Kann mir jemand sagen, wo bei der partiellen integration der fehler liegt? Ich habe jetzt gerade nochmal nachgerechnet. Es kommt das gleiche heraus.

Bummerang

10:38 Uhr, 06.05.2015

Hallo,

"Kann mir jemand sagen, wo bei der partiellen integration der fehler liegt?"

Ohne Deinen Rechenweg? Schick doch mal Deine Glaskugel oder Deinen Kaffeesatz vorbei, Ach nee, die taugen ja eh nichts!

"Ich habe jetzt gerade nochmal nachgerechnet. Es kommt das gleiche heraus."

Weil Du sehr wahrscheinlich den selben Fehler machst!

Die korrekte partielle Integration (etwas sehr ausführlich, damit Du Deinen Fehler finden kannst) führt zu folgendem Ergebnis:

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x

u = sin (π \cdot x) \Rightarrow u' = π \cdot cos (π \cdot x)

v' = cos (2 \cdot x) \Rightarrow v = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - \frac{π}{2} \cdot \int cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) d x

\int cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) d x

u = cos (π \cdot x) \Rightarrow u' = - π \cdot sin (π \cdot x)

v' = sin (2 \cdot x) \Rightarrow v = - \frac{1}{2} \cdot cos (2 \cdot x)

\int cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) d x = - \frac{1}{2} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) - \frac{π}{2} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - \frac{π}{2} \cdot \int cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) d x

= \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - \frac{π}{2} [- \frac{1}{2} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) - \frac{π}{2} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x]

= \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) + \frac{π^{2}}{4} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x

\Rightarrow

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x - \frac{π^{2}}{4} \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)

(1 - \frac{π^{2}}{4}) \cdot \int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{1 - \frac{π^{2}}{4}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{\frac{4 - π^{2}}{4}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{4}{4 - π^{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{π}{4} \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))

\int sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) d x = \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot (2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + π \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))

Probe:

\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 - π^{2}} \cdot (2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + π \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot \frac{d}{d x} [2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + π \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [\frac{d}{d x} (2 \cdot sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x)) + \frac{d}{d x} (π \cdot cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [2 \cdot \frac{d}{d x} (sin (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x)) + π \cdot \frac{d}{d x} (cos (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [2 \cdot (sin (π \cdot x) \cdot 2 \cdot cos (2 \cdot x) + π \cdot cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x)) + π \cdot (cos (π \cdot x) \cdot 2 \cdot (- sin (2 \cdot x)) + π \cdot (- sin (π \cdot x)) \cdot cos (2 \cdot x))]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [4 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) + 2 \cdot π \cdot cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) + (- 2 \cdot π \cdot cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - π^{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x))]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [4 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) + 2 \cdot π \cdot cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot π \cdot cos (π \cdot x) \cdot sin (2 \cdot x) - π^{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [4 \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x) - π^{2} \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)]

= \frac{1}{4 - π^{2}} \cdot [(4 - π^{2}) \cdot sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)]

= sin (π \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)

PS: "Warum gleich so empfindlich, hast du etwa die formel erfunden und fühlst dich jetgt persönlich beleidigt ;-). ?"

Diese Formel hat niemand erfunden, weil man nicht erfinden kann, was schon immer da ist. Was man machen kann, ist diese Formel finden, in einer Formelsammlung oder bevor sie dort reingekommen ist, durch die Schritte, die Respon hier vorgeführt hat. Aber Du scheinst nicht zu verstehen, dass es ein Charakterfehler ist, sich negativ über Dinge zu äussern, die man gar nicht kennt, und das ist vollkommen unabhängig davon um was es geht. Hier ist es nur eine Formel, an anderer Stelle ist es was anderes.

Roman-22

12:48 Uhr, 06.05.2015

Hallo Bummerang!

Alles klar und gut.
Dass Tamburin sprachlich so unglücklich formuliert hat, als hätte er das Formelbuch gar nicht erst aufgeschlagen, hab ich ihm, nicht zuletzt aufgrund seines Alters, nachgesehen und daher auf Rabulistik verzichtet.
Dich hat also im Wesentlichen nur gestört, dass er die Möglichkeit, eine vorgegebene Formel zu verwenden gar nicht erst in Erwägung zieht, nur weil sie ihm kompliziert oder zu komplex vorkommt. Da hast du natürlich Recht. Vor allem, weil man in der Regel ja davon ausgehen kann, dass eine Integraltabelle nicht unnötig komplizierte Ergebnisse angeben wird und daher die Wahrscheinlichkeit, durch eigene Rechnung auf ein einfacheres Ergebnis zu kommen, ja vermutlich doch als sehr gering einzustufen sein wird. Andererseits sehe ich es durchaus positiv, wenn Tamburin-442 den Ehrgeiz entwickelt, die Lösung selbst herzuleiten anstelle eine vorfabrizierte Lösung zu verwenden. Dass sein Ergebnis (abgesehen vom Fehler) dann noch ein wenig komplexer ist als jenes in der Formelsammlung, ist halt Pech (und nicht weiter verwunderlich) ;-)
Ich gebe aber noch zu Bedenken, dass uns Tamburin nicht verraten hat, *welche* Formel er gefunden (oder erahnt) und für zu komplex erachtet hat. Möglicherweise hat er sich ja auch verschaut und irrtümlich eine Rekursionsformel, etwa für

\int s i n^{m} (a x) \cdot c o s^{n} (a x) d x

, gefunden. Vielleicht findet man ja sogar auch etwas zu

\int s i n^{m} (a x) \cdot c o s^{n} (b x) d x

Roman-22

12:52 Uhr, 06.05.2015

\int s i n^{m} (a x) \cdot c o s^{n} (a x) d x

, gefunden. Vielleicht findet man ja sogar auch etwas zu

\int s i n^{m} (a x) \cdot c o s^{n} (b x) d x

in besseren Tabellen, auch wenn ich da ad hoc nichts zu finden imstande war. Jedenfalls würde ich dann verstehen, warum das abschreckt.

Gruß R

@Tamburin422
"Warum gleich so empfindlich, hast du etwa die formel erfunden und fühlst dich jetgt persönlich beleidigt ;-). ?"

Ich halte diese deine Anmerkung für entbehrlich.
Und auch wenn sich mir die Intention von Bummerang's Antwort nicht gleich erschlossen hat, so wär ich doch nie auf die Idee gekommen, er wäre persönlich beleidigt. Mittlerweile gibt es ja auch schon eine Klarstellung und ich bin auch überzeugt davon, dass sein Beitrag keinesfalls so überheblich und sarkastisch gemeint war, wie er rübergekommen ist. Aber das zeigt nur wieder einmal, dass, was Formulierungen anlangt, in schriftlicher Kommunikation ganz besondere Sorgfalt und Vorsicht angebracht ist, da Mimik, Körpersprache, Tonfall etc. nicht zur Interpretation der Intention einer Aussage zur Verfügung stehen und im Gegensatz zu dem, was manche Jugendliche glauben, taugen Emoticons als Ersatz kaum. Dass aber gerade auch du in dieser Hinsicht nicht vor Ausrutschern gefeit bist, hast du in der Vergangenheit durchaus das eine oder andere Mal durch rüde Anmerkungen gezeigt.

Im Gegensatz dazu hat sich mittlerweile Bummerang sogar trotzdem der Mühe unterzogen, dir eine extrem ausführliche und übersichtliche Lösung inklusive Probe zu unterbreiten, die es dir ermöglichen sollte, den Fehler in deiner Rechnung zu finden.

EDIT: Sorry wgene des Doppelposts. Diese Seite scheint seit einiger Zeit ziemliche Probleme zu haben und reagiert kaum bis gar nicht. Ein mehrfacher Klick auf "Antworten" ist da nicht ungewöhnlich.
Vielleicht kann ein Mod so nett sein, meinen vorangegangenen Beitrag zu löschen.

Tamburin442 aktiv_icon

16:00 Uhr, 06.05.2015

Vielen Lieben Dank Bummerang.

Ich habe das wirklich nicht ernst gemeint, und der smiley war wirkich ernst gemeint :-) war nur spaß am rande. Sry wenn das falsch rüberkam.

Ich finde deine Lösung wirklich Klasse erklärtm und habe meinen Fehler erkennen können , nur im letzten schritt kann ich nicht nachvollziehen , wie aus

\frac{4}{4 - Π^{2}}

im nächsten schritt

\frac{1}{4 - Π^{2}}

geworden ist.

Ansonsten finde ich dass du das klarer hättest garnicht erklären können .

Ich möchte gerne einfach die Produktintegration auch an etwas schwierigeren beispielen üben deshalb wollte ich die Formel nicht benutzen, das wäre ja einfach nur zahlen einsetzen und das wars :-)

Bummerang

17:44 Uhr, 06.05.2015

Hallo,

"... nur im letzten schritt kann ich nicht nachvollziehen , wie aus

\frac{4}{4 - π^{2}}

im nächsten schritt

\frac{1}{4 - π^{2}}

geworden ist."

Gehe einfach mal beide Zeilen von vorn nach hinten durch, da haben sich insgesamt 3 Werte geändert. Den ersten hast Du gefunden, finde die zwei anderen und überlege, wie die beiden anderen Änderungen mit der von Dir gefundenen Änderung zusammenhängen könnten!

Tamburin442 aktiv_icon

18:49 Uhr, 06.05.2015

Hallo,

ja ich sehe es jetzt.

da steht

: \frac{4}{4 - Π^{2}} \cdot (\frac{1}{2} (a) + \frac{Π}{4} \cdot (b)) \to a

und

b

nur bequemerweise

dann hast du anscheinend gekürtzt:

\frac{4}{4 - Π^{2}} \cdot \frac{1}{2} (a) = \frac{2}{4 - Π^{2}} \cdot a

............................................und

\frac{4}{4 - Π^{2}} \cdot \frac{π}{4} (b) = \frac{Π}{4 - Π^{2}} \cdot b

Dann hast du einfach gesagt

\frac{2}{4 - Π^{2}} \cdot a + \frac{Π}{4 - Π^{2}} \cdot b = \frac{2 a + Π \cdot b}{4 - Π^{2}} = \frac{1}{4 - Π^{2}} \cdot (2 a + Π \cdot b)

gibts da auch ne abkürzung? Kann man das auch direkt machen ohne diese Zwischenschritte wie ich sie gemacht habe?

Tamburin442 aktiv_icon

21:15 Uhr, 06.05.2015

Jetzt komme ich zur letzten aufgabe.

Die war wirklich mit abstand die schwerste aufgabe die ich je gesehen habe. Ich frage mich wenn nur EINE aufgabe der Prüfungen-für Erstsemester im Studium solange dauert. Wie lange dauert dann ne ganze Prüfung?? Au Weia

. .

.

Jedenfalls hab ich alles so gemacht wie Bummerang es mir ganz oben gesagt hat.

1. Substitution

z = \sqrt{x}

2. Polynomdivision ( Ergbenis: Ganzrationaler anteil

+

Restterm)

3. Weiter mit dem Restterm

4. Umformung des Restterms ( es enstehen 2 Summanden)

5. Danach Integration der beiden Integranden

6. Dann den ganzrationalen Anteil von der Polynomdivision

(s . o)

auch integrieren und hinzufügen

7. Endergebnis lautet:

\frac{3}{2} x^{2} - 2 {(\sqrt{x})}^{3} + 2 x + 2 \sqrt{x} + 3 \cdot ln | x + \sqrt{x} + 1 | - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot

arctan

(\frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{3}}) + C

Ist das richtig???

Frage zu der Umformung : Muss man sowas wie diese Umformung ( von Bummerang ganz oben) auswendig lernen. Sowas steht nicht in meiner Formelsammlung .

Bummerang

21:31 Uhr, 06.05.2015

Hallo,

zu Deiner Umformung mit der

4,

das geht viel einfacher:

\frac{4}{(a)} \cdot (\frac{1}{2} \cdot (b) + \frac{π}{4} \cdot (c));

Ich bin noch fauler! Bruchrechnung

= (\frac{1}{(a)} \cdot 4) \cdot (\frac{1}{2} \cdot (b) + \frac{π}{4} \cdot (c));

Assoziativgesetz

= \frac{1}{(a)} \cdot (4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (b) + \frac{π}{4} \cdot (c)));

Distributivgesetz

= \frac{1}{(a)} \cdot (4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (b) + 4 \cdot \frac{π}{4} \cdot (c));

Ausrechnen

= \frac{1}{(a)} \cdot (2 \cdot (b) + π \cdot (c))

Und das war die breiteste epische Breite, wofür ich höchstens schreiben würde, dass ich den Zähler als Faktor in die Klammer ziehe!

Tamburin442 aktiv_icon

07:26 Uhr, 08.05.2015

Danke an alle .

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