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Integration einer Betragsfunktion

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Integration

Tags: Betragsfunktion, Integration

 
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tin88

tin88 aktiv_icon

14:50 Uhr, 23.07.2014

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Hallo:
Ich hab folgendes Integral zu lösen -11a-x-1dx

Ich hab bei x=0 eine Nullstelle.

Muss ich das Integral auftrennen auf die zwei Intervalle oder kann ich gleich das gesamte Integral (ohne Betragstrich) berechnen?
Also -10(a-x-1)dx+01(a-x-1)dx oder einfach -11(a-x-1)dx?

Das Integral (a-x-1)dx=-a-xlna+c ?

Dann ist die Lösung von -11a-x-1dx
-1alna+alna-2
Stimmt das?

Danke für eure Hilfe!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

15:24 Uhr, 23.07.2014

Antworten
"
... Stimmt das? " .... < Nein


zunächst zur Stammfunktion ohne Betragszeichen :

es ist (a-x-1)dx=-a-xln(a)-x+c

und : ist über a etwas ausgesagt? also ist zB a>1... oder 0<a<1 ..oder.. ?


tin88

tin88 aktiv_icon

16:40 Uhr, 23.07.2014

Antworten
Ach ja, sorry, hab ich ganz vergessen, a>0
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

22:02 Uhr, 23.07.2014

Antworten


-11|a-x-1|dx=..


mal ganz behutsam, nur für a>1

da könnte man zunächst eine Fallunterscheidung machen (->Betrag!)

1. für x>0 ist |a-x-1|=-a-x+1

also das erste Teilintegral
-101(a-x-1)dx=[a-xln(a)+x]01=?

2. für x<0 ist |a-x-1|=a-x-1

also das zweite Teilintegral
-10(a-x-1)dx=[-a-xln(a)-x]-10=?

werte nun diese beiden Zwischenergebnisse weiter aus
und addiere dann die beiden Teilflächen zum gesuchten Gesamtwert
was erhältst du ?


mache dann noch die Untersuchung analog für den Fall 0<a<1
erhältst du für die Gesamtfläche dann den gleichen Wert ?
(warum? / warum nicht?)


tin88

tin88 aktiv_icon

15:31 Uhr, 24.07.2014

Antworten
Also ich hab jetzt die Fallunterscheidungen gemacht:
Für die Gesamtfläche von a>1 erhalte ich 1alna-2lna+alna
Für die Gesamtfläche von 0<a<1 erhalte ich -1alna+2lna-alna
außer ich hab mich irgendwo verechnet...

Mir ist allerdings nicht klar, warum diese Flächen jetzt verschieden sind. Die zwei Fälle unterscheiden sich ja eigentlich nur darin, dass die Kurven an der y-Achse gespiegelt sind, also meiner Meinung nach müssten die Flächen daher gleich sein?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

20:56 Uhr, 24.07.2014

Antworten
.
ok
habe die gleichen Ergebnisse

und dazu:
"
müssten die Flächen daher gleich sein?
"

aber das sind sie ja !

beachte dazu, dass im Fall 0<a<1 die Zahlenwerte von ln(a) NEGATIV sind
und deshalb wird zB -aln(a) eine POSIVE Zahl sein
so wie im Fall a>1 entsprechend +aln(a) positiv ist
usw..
also die Vorzeichen der drei Summanden bei der Formel für den Fall 0<a<1
sind alle drei aus besagtem Grund genau umgekehrt wie im Fall a>1

aber die Formeln Gesamtflächen sind wie gesagt beide im Prinzip genau gleich
und könnten unter Verwendung des Betragszeichens als eine gemeinsame
Formel für alle a>0 geschrieben werden :

schlag selbst mal vor, wie ...


Frage beantwortet
tin88

tin88 aktiv_icon

10:51 Uhr, 26.07.2014

Antworten
Super danke, das hatte ich nicht bedacht
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

10:56 Uhr, 26.07.2014

Antworten
".... bedacht."

hm..
aber du hast die obige Frage noch nicht beantwortet?!

also: dein Vorschlag ...