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Integrationsübung 3

Schüler

Tags: Bruch, Substitution

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21:55 Uhr, 25.05.2017

Die Aufgaben werden immer schwieriger, oder nicht?
Kopfe heute schon den ganzen Vormittag, wie man

d a r a u f

kommt.
Danke für jegliche Hilfe bei diesen meiner Ansicht nach schwierigen Integrationsübungen. Welcher Schüler in der

11

. Schulstufe könnte die lösen?
Aufgabe:

\int \frac{1}{3 x^{2} - 3 x - 5} d x

Ich habe mir das einmal beim Integralrechner angesehen. Dort heißt es "quadratische Ergänzung".

Die ist mir noch gelungen, nachzuvollziehen. Aber dann heißt es substituiere! Um

u

zu finden, muss man da ein Mathegenie sein, oder

... .

? Da fehlt mir jeglicher Durchblick. Leider. Aber vielleicht ist es so einfach und ich denke zu kompliziert!
Auf alle Fälle schon im Voraus ein Danke für die Aufklärung und Hilfestellung!

\int \frac{1}{{(\sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} + \frac{17}{4} d x

Man soll nun

u

finden. Wie findet man heraus, dass

u

so aussehen soll?

u = \frac{\sqrt{3} (2 x - 1)}{\sqrt{17}}

du/dx

= 2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}

Auch das Weiterrechnen mit untenstehendem Ausdruck ist mir ein Rätsel.

= \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{17}} \int \frac{1}{u^{2} + 1}

du
Wie kommt man zu diesem Ausdruck? Hier stehe ich völlig daneben, leider!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

22:12 Uhr, 25.05.2017

In deiner Angabe: Heißt der Nenner

3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x - 5

oder

3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 5

Respon

22:35 Uhr, 25.05.2017

Abgetaucht ?
( Der von dir angeführte Rechenweg würde für

3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x + 5

korrekt sein, allerdings gehört dann

\frac{17}{4}

auch in den Nenner. )

Roman-22

23:32 Uhr, 25.05.2017

Sowas Ähnliches hatten wir doch schon auch hier: www.onlinemathe.de/forum/Integraluebung-6
und auch die Antworten auf deine Fragen werden wohl ähnlich ausfallen müssen.
leider hast du Respons Frage nicht mehr beantwortet und so gehe ich davon, dass du dich in deiner Angabe mit dem Vorzeichen geirrt hast und es

\int \frac{d x}{3 x^{2} - 3 x + 5}

lauten sollte.
Wie man nun auf diese abwegige Substitution kommt?
Nun, in erster Linie, weil/wenn man schon etwas Übung hat.
Ein Integral wie das gegebene wird man auf die Form

\int \frac{d u}{u^{2} \pm 1}

bringen. Daran sollte einen diese Struktur erinnern. Ob

+

oder - kann man nicht wählen, das ergibt sich. Beide Integrale sind aber elementar zu lösen. In deinem Beispiel wird sich

i . W . \int \frac{d u}{u^{2} \pm 1} = a r c t a n (u) + C

ergeben.

Da wir mit

u^{2}

also ein vollständiges Quadrat im Nenner benötigen, versucht man sich an der quadratischen Ergänzung und kommt, soweit war dir das ja noch klar, auf

\int \frac{d x}{3 x^{2} - 3 x + 5} = \int \frac{d x}{{(\sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \frac{17}{4}} = (⋆)

Nun soll aus den

\frac{17}{4}

ja eine 1 werden, also multipliziere ich Zähler und Nenner mit

\frac{4}{17}

. Du kannst das auch so sehen, dass ich im Nenner

\frac{17}{4}

herausheben (da du einmal etwas von einer nahenden Zentralmatura geschrieben hast nehme ich an, dass du in Österreich beheimatet bist und dir dieser Begriff geläufiger ist als "ausklammern").

(⋆) = \frac{4}{17} \cdot \int \frac{d x}{\frac{4}{17} \cdot {(\sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1} = (⋆ ⋆)

Jetzt bringen wir im Nenner die

\frac{4}{17}

in die Klammer hinein, dabei müssen wir davon die Wurzel ziehen, und räumen dann dort ein wenig auf

(⋆ ⋆) = \frac{4}{17} \cdot \int \frac{d x}{{[\frac{2}{\sqrt{17}} \cdot (\sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}}{2})]}^{2} + 1} = \frac{4}{17} \cdot \int \frac{d x}{{[\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{17}} \cdot (x - \frac{1}{2})]}^{2} + 1} = \frac{4}{17} \cdot \int \frac{d x}{{[\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} \cdot (2 x - 1)]}^{2} + 1} = (⋆ ⋆ ⋆)

Ich nehme an, dass jetzt auch du erkennst, warum man mit

u = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} \cdot (2 x - 1)

substituiert, also genau mit dem Ausdruck, der im Nenner quadriert wird.
Damit wird nun

d u = 2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} d x

und

d x = \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{3}} d u

. Damit gehts nun weiter

(⋆ ⋆ ⋆) = \frac{4}{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{3}} \cdot \int \frac{d u}{u^{2} + 1} = \frac{2 \sqrt{17}}{17 \sqrt{3}} \cdot a r c t a n (u) + C = \frac{2 \sqrt{17}}{17 \sqrt{3}} \cdot a r c t a n (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} \cdot (2 x - 1)) + C = (⋆ ⋆ ⋆ ⋆)

In deiner Musterlösung (oder war es der Online-Rechner) hat man da noch

\frac{\sqrt{17}}{17}

\frac{1}{\sqrt{17}}

"vereinfacht".

Wenn schon, dann würde ich eher dazu neigen, alle Nenner rational zu machen und das Ergebnis als

(⋆ ⋆ ⋆ ⋆) = \frac{2 \sqrt{51}}{51} \cdot a r c t a n (\frac{\sqrt{51}}{17} \cdot (2 x - 1)) + C

schreiben.

Und, zugegebenermaßen ohne die entsprechenden Lehrpläne zu kennen, für den Schulbereich würde ich diese Aufgabe, vorsichtig ausgedrückt, nicht unbedingt als typisch einstufen. Das ist auch der Grund dafür, warum ich die Aufgabe hier entgegen meiner sonstigen Gewohnheit so haarklein vorgerechnet habe und natürlich auch, weil ich von vergangenen Threads durchaus den Eindruck gewonnen hatte, dass du das nicht als Abschreibvorlage für eine Hausübung nimmst, sondern dich ernsthaft damit auseinandersetzen wirst.

Respon

23:38 Uhr, 25.05.2017

I.d.R. würde man es ja zuerst über die Partialbruchzerlegung versuchen, allerdings hat dein Nennerterm keine reellen Nullstellen.

Roman-22

23:48 Uhr, 25.05.2017

> I . d . R

. würde man es ja zuerst über die Partialbruchzerlegung versuchen
Ja, das wäre bei der ursprünglichen Angabe mit

- 5

möglich. Allerdings wären die Nst da auch ziemlich abstoßend.
Aber auch in diesem Fall käme man mit dem gleichen Ansatz wie vorhin ausgeführt zum Ziel. Man erzeugt erst das

\int \frac{d u}{u^{2} - 1}

und entweder man zerlegt den Integranden dann in

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u + 1},

oder man löst gleich mit

\int \frac{d u}{u^{2} - 1} = a r t a n h (u)

und den

a r t a n h

kann man ja dann immer noch als Summe zweier Logarithmen schreiben. Zu beachten wäre dann noch der Gültigkeits-/Definitonsbereich für

u

bzw.

x

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08:23 Uhr, 26.05.2017

Lieber Roman-22!
Allerliebsten Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Nein - Abschreiben hat keinen Sinn. Ich werde heute versuchen, das alles ganz langsam nachzuvollziehen, aber ich sehe schon, selbst das ist sicher nicht so leicht. Bis zur Matura habe ich noch

2,5

Jahre vor mir. Deshalb erscheinen mir die Aufgaben auch zu schwer. Hätte noch 5 solche - ebenfalls sooo schwierige Ausdrücke bis zum Substituieren aüßerst zäh - aber ich kann es ja einmal versuchen, wenn ich diese hier, die du mir so ausführlich und liebevoll erklärt hast zu verstehen.
Die Aufgaben wie

z

. B. die Nr.

12 . c) \int \frac{1}{3 x^{2}}

-1)schauen ja alle so leicht aus. Doch jede Aufgabe hat's in sich. Ich bin neugierig, wie es meinen Mitschülern beim Lösen der Rechnungen auf dem Übungszettel ergeht.
Alle, die Nachhilfeunterricht genießen, werden eine Lösung präsentieren, alle andern .......????
Danke, danke für die großartige Hilfe. Du hast mir Einblick in eine schwierige Materie gewährt.
Ganz liebe Grüße

B

Respon

08:26 Uhr, 26.05.2017

Meinst du vielleicht

\int \frac{1}{3 \cdot x^{2} - 1} d x

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08:32 Uhr, 26.05.2017

Entschuldigung, ja. Ich wollte es eben korrigieren. Du warst schneller, respon.
Danke dir auch, du hast mir auch sehr geholfen!!! Da sehe ich eben - auch das

d x

hatte ich vergessen! Der erste Profit von Roman-22 zeigt sich, hi!
Sollte dir einmal langweilig sein, dann wäre ich natürlich froh, wenn du mir diese Aufgabe auch vorrechnen könntes (mit Erklärung dazu)
Ich habe die Aufgaben alle schon probiert, diese scheint mir nicht so schwierig wie die vorhergehende, aber dennoch nicht leicht zu lösen. Der online-rechner hat mir geholfen, die Faktorenzerlegung zu finden.
Ich bin schon froh, dass im Matheforum so hilfsbereite Mathefachleute und Pädagogen sind, an die man sich bei Problemen in Mathe wenden kann. Ich glaube, das schätzt auch die Mehrheit der Fragesteller.
Lieber respon! Ich entschuldige mich, dass ich gestern nicht mehr geantwortet habe, ich habe nur mehr Bilder wie

e^{- (a x)}

usw. vor mir gesehen. Musste das Arbeiten am Computer einfach einstellen. Heute geht es wieder besser. Freue mich schon darauf, am Nachmittag diese

36

Aufgabe nochmals durchzurechnen. Vielleicht stoße ich doch noch auf eine Rückfrage, dann bitte lasst mich nicht im Stich! Auch bei schönem Wetter kann Mathe Spaß machen. Freue mich allerdings schon auf ein anderes Kapitel - nur Integralübungen......????
Übrigens - alle diese Aufgaben sind auf einem Übungszettel - keine Hausübungen. Wer will

k a n n

diese Aufgaben als Übung für die Schularbeit zu Hause durchführen.
Irgendjemand hat versucht, mir zu antworten. Leider ist keine Anwort angekommen. Bis bald!
Nochmals ganz herzliche, liebevolle Grüße an euch beide und tausend Mal Dank für den Beistand bei diesen relativ schwierigen Aufgaben.

B

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17:32 Uhr, 26.05.2017

Danke nochmals an

a l l e,

die so toll mitgeholfen haben. Besonderer Dank an Roman-22! Deine Rechnung dient mit als wertvolle Unterlage für die nächsten drei Aufgaben, die noch ausstehen und große Ähnlichkeit aufweisen.
Ganz ganz liebe Grüße

B

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