Integrieren durch Partialbruchzerlegung

Habe folgende Aufgabe übungshalber berechnen wollen:

Berechnen Sie:

${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+3{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Mein Ansatz war, diese Aufgabe mit Hilfe der PBZ zu lösen:

Dafür musste ich ja die Nullstellen des Nenners berechnen, was sich schon als schwierig herausstellte...nach einigen überlegungen kam ich darauf

den Nenner so umzuschreiben:

${\displaystyle ({\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+1)({\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+2)}$

..jetzt wusst ich aber nicht wie ich weiter machen soll,denn die übliche Vorgehensweise klappt nicht...!

Hat jemand eine Idee wie man das rechnen kann oder ist PBZ der falsche ansatz?

Danke schonmal!

also wenn ich das Substituiert habe steht dann da

${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ?

Nullstellen: z= -1 und z=-2

Ansatz für PBZ:

${\displaystyle \frac{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)}+\frac{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{(\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}}$

Gleichen Nenner bringen,.., Nullstellen einsetzen führt dann zu

A=1 ; B=-1

Lösung habe ich dann raus:(ist jetzt noch nicht weiter zusammengefasst)

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1)-\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)-\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}3}$

richtig?

okee..alles klar fehler gesehn^^

also ist A=1

B= -1

und dann

${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+-{\int }_1^{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{1}{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

=ln(e+1)-ln(2) - ( ln(e+2)-ln(3) )

??

..ich habe die Vorgehensweise auf jedenfall verstanden...

hat mich doch gewurmt,dass ich die aufgabe nicht lösen kann...

wenn jetzt in der Klausur was ähnliches kommt weiß ich bescheid...dankeschön:-)

dankeschön...ist ja echt nett,dass um die uhrzeit noch so schnell geantwortet wird;-)

wenn ich morgen noch was entdecke,weiß ich ja wer mir hilft :-P