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Intervall bestimmen für Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Normalverteilung, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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ProfMoriarty

ProfMoriarty aktiv_icon

18:01 Uhr, 12.09.2017

Antworten
Hallo zusammen,
ich hänge gerade an folgendem Problem fest:
Gegeben seien N (unterschiedlich) normalverteilte Zufallsvariablen Xi.
Ich möchte nun ein Intervall [xmin,1.1xmin] so bestimmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass alle Xi genau mit Wahrscheinlichkeit β in diesem Intervall liegen.
Es ist Absicht, dass Anfang und Ende des Intervalls jeweils von xmin abhängen

Also ich weiß schon, dass die Wahrscheinlichkeit mit dem die Die N Variablen in einem Intervall [a,b] liegen berechnet werden kann als:

i=1N(Fi(b)-Fi(a))

wobei Fi(x) die kumulierte Verteilungsfunktion zur Variablen Xi sein soll.
Insgesamt komme ich dann also auf die Gleichung:

i=1N(Fi(1.1xmin)-Fi(xmin))=β

für die ich das xmin finden muss. Hier stecke ich allerdings fest, weil ich analytisch nicht weiterkomme.

Desweiteren weiß ich schon durch ausprobieren, dass es im Allgemeinen 2 Lösungen gibt die diese Gleichung erfüllen.

Hat da zufällig noch jemand eine Idee zu diesem Problem?


PS:
Zu Verdeutlichung habe ich mal einen Plot erstellt, dabei ist der Linke teil der oberen Gleichung über xmin geplottet worden (entspricht der Kurve mit der niedrigsten Amplitude), zusammen mit den Normalverteilungen der Zufallsvariablen.

Die Kurve sieht so ähnlich aus wie eine Normalverteilung, allerdings schaffe ich es nicht ganz eine Normalverteilung hindurch zu legen.


problem
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:19 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Wenn XiN(μi,σi), dann P(xXi1.1x)=P(x-μiσiXi-μiσi1.1x-μiσi)=Φ(1.1x-μiσi)-Φ(x-μiσi).
Also hast Du am Ende die Gleichung
i=1n(Φ(1.1x-μiσi)-Φ(x-μiσi))=β.
Sie ist analytisch nach x nicht auflösbar. Auch in dem Fall nicht, wenn alle Xi identisch verteilt sind. Tut mir leid, nichts zu machen.
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