Hallo, ich habe folgendes Anliegen: Sei eine über diagonalisierbare Matrix mit reellen Eigenwerten der alg. Multiplizität 1 und Paaren komplex-konjugier Eigenwerte der algebraischen Multiplizität 1. Zeigen Sie, dass die Jordannormalform von A über von der Gestalt ist, wobei ist. Die Matrix hat also zunächst nur die reellen Eigenwerte auf der Diagonalen und dann stehen die Matrizen auf der Diagonalen.
Sinn der Aufgabe ist denke ich, zu sehen, was passiert, wenn man die Voraussetung "das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren" weglässt. Es ist also eine Basis gesucht, bezgl. welcher die Darstellungsmatrix ist.
Ich fange mal an: Da A über diagonalisierbar ist, zerfällt das char. Polynom in Linearfaktoren, also . Seien die reellen Eigenwerte und setze . So erhalten wie die Paare komplex-konjugierter Eigenwerte. Dann setze ich . Dann hat das char. Polynom die Gestalt (nache einer vorherigen Übungsaufgabe) . . ,wobei .
Ich denke, dass kann recht nützlich sein.
Folgende Aufgabe wurde davor behandelt: Es war eine Matrix A gegeben, die über diagonalisierbar war. Von der hat man eine Basis von bestimmt, bzgl. der A diagonalisierbar war. Die Eigenwerte waren komplex konjugiert zueinander. Dann wurde und u+iw mit geschrieben und gezeigt,d ass linear unabhängig sind. Die Matrix enthielt dann in den Spalten die Vektoren und . Dann wurde bestimmt. hatte die Form wie in der Aufgabe.
Ich bräuchte nun bitte Hilfe dabei, das alles zusammenzubringen. Wäre super, wenn mir jemand helfen kann.
Liebe Grüße, Tom
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hallo,
der Diagonalisierung geht ja eine Basistransformation voraus, die die Jordan-Basis auf die Standardbasis abbildet. Diese Trafo ist ein Isomorphismus .
Die JNF ist weitestgehend eindeutig. Dann betrachte die Jordanbasisvektoren, die zu einem komplexen Eigenwert und dessen komplex konjugiertem Eigenwert , nennen wir sie . Setze nun und . Diese Vektoren spannen einen zweidimensionalen Unterraum auf.
Wenn du nun die der JNF zugrunde liegende Linearform auf dieses einschränkst, dann hast du eine lineare Funktion von einem zweidimensionalen Unterraum in einen Zweidimensionalen Unterraum und das zum Eigenwert gehörende ist die Darstellende Matrix (da muss man etwas argumentieren, sollte aber nur Formsache sein).
Dann kannst du deine andere Aufgabe anwenden...
Lieben Gruß Sina
|