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Jordannormalform einer nxn Matrix über R

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Jordannormalform

 
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MathsTom

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19:04 Uhr, 21.04.2014

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Hallo,
ich habe folgendes Anliegen:
Sei AM(nxn,) eine über diagonalisierbare Matrix mit k reellen Eigenwerten der alg. Multiplizität 1 und n-k2 Paaren komplex-konjugier Eigenwerte der algebraischen Multiplizität 1. Zeigen Sie, dass die Jordannormalform von A über von der Gestalt B=diag(λ1,...,λk,B1,...Bn-k2)M(nxn,) ist, wobei Bj=(ajbj-bjaj)M(2x2,) ist. Die Matrix B hat also zunächst nur die k reellen Eigenwerte auf der Diagonalen und dann stehen die Matrizen Bj auf der Diagonalen.

Sinn der Aufgabe ist denke ich, zu sehen, was passiert, wenn man die Voraussetung "das char. Polynom zerfällt in Linearfaktoren" weglässt. Es ist also eine Basis gesucht, bezgl. welcher die Darstellungsmatrix =B ist.

Ich fange mal an:
Da A über diagonalisierbar ist, zerfällt das char. Polynom p in Linearfaktoren, also p=(-1)n(t-λ1)...(t-λk)(t-λk+1)...(t-λn).
Seien λ1,...,λk die reellen Eigenwerte und setze λk+2=λk+1¯,...,λn=λn-1¯. So erhalten wie die n-k2 Paare komplex-konjugierter Eigenwerte. Dann setze ich λj=aj+ibj,j=1,...,n-k2.
Dann hat das char. Polynom p die Gestalt (nache einer vorherigen Übungsaufgabe)
p=(-1)n(t-λ1)... (t-λk)q1... qn-k2 ,wobei qj=(t-λj)(t-λj¯)=(t2-2ajt+aj2+bj2)[t].

Ich denke, dass kann recht nützlich sein.

Folgende Aufgabe wurde davor behandelt:
Es war eine 2x2 Matrix A gegeben, die über diagonalisierbar war. Von der hat man eine Basis (v1,v2) von 2 bestimmt, bzgl. der A diagonalisierbar war. Die Eigenwerte λ1,λ2 waren komplex konjugiert zueinander. Dann wurde λ1=a+bi und v1= u+iw mit a,b,u,w2 geschrieben und gezeigt,d ass u,w linear unabhängig sind. Die Matrix P enthielt dann in den Spalten die Vektoren u und w. Dann wurde B=P-1AP bestimmt. B hatte die Form wie Bj in der Aufgabe.

Ich bräuchte nun bitte Hilfe dabei, das alles zusammenzubringen.
Wäre super, wenn mir jemand helfen kann.

Liebe Grüße,
Tom


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Sina86

Sina86

08:42 Uhr, 25.04.2014

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Hallo,

der Diagonalisierung geht ja eine Basistransformation voraus, die die Jordan-Basis auf die Standardbasis abbildet. Diese Trafo ist ein Isomorphismus Φ.

Die JNF ist weitestgehend eindeutig. Dann betrachte die Jordanbasisvektoren, die zu einem komplexen Eigenwert λ und dessen komplex konjugiertem Eigenwert λ¯, nennen wir sie v,w. Setze nun v~=Φ-1(v) und w~=Φ-1(w). Diese Vektoren spannen einen zweidimensionalen Unterraum U auf.

Wenn du nun die der JNF zugrunde liegende Linearform F auf dieses U einschränkst, dann hast du eine lineare Funktion von einem zweidimensionalen Unterraum in einen Zweidimensionalen Unterraum und das zum Eigenwert gehörende Bj ist die Darstellende Matrix (da muss man etwas argumentieren, sollte aber nur Formsache sein).

Dann kannst du deine andere Aufgabe anwenden...

Lieben Gruß
Sina
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