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K-VR Hompmorphismus-Verknüpfung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: endlich dimensional, Homomorphismus, Kern, Linear Abbildung, Vektorraum

anonymous

14:41 Uhr, 10.12.2016

Hallo, ich brauche eure Hilfe zu folgender Aufgabe:

"Seien U, V, W endlich-dimensionale Körpervektorräume,

A \in H o m_{K} (U, V)

und

B \in H o m_{K} (U, W)

. Zeigen Sie, dass es genau dann eine Abbildung

C \in H o m_{K} (V, W)

gibt mit

B = C A

gibt, wenn

K e r n (A) \subseteq K e r n (B)

gilt."

Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich da herangehen soll.

Freue mich auf eure Hilfe. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:43 Uhr, 10.12.2016

"Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich da herangehen soll."

Nun, nimm zuerst mal an, dass

B = C A

und betrachte ein

v

aus Kern von

A

. Schaffst Du zu zeigen, dass dieses

v

dann auch in Kern von

B

liegt?

anonymous

16:32 Uhr, 10.12.2016

Hi, habe deine Antwort gerade erst gesehen, sorry.

Also wenn ich annehme, dass

B = C A

heißt das ja

B (v) = C (A (v))

. Sei nun

v \in k e r n (A)

. Dann ist doch nach Definition

v = 0

. Wenn ich nun

B (v) = C (A (v))

betrachte, liefert mir das

B (0) = C (A (0))

oder? Und weil

C

V als Definitionsbereich hat, schiebt es doch dann den Vektor

v

auf sein Bild in W. Und

K e r n (C) \subseteq B i l d (C)

. Da Bild(C) in W liegt und B nach Annahme

B = C A

ist, liegt v auch im

K e r n (B)

.

Sind diese Überlegungen richtig? Oder habe ich da einen großen Fehler in meinem Gedankengang?
Vielen Dank schon mal für deine Antwort. :-)

DrBoogie aktiv_icon

23:32 Uhr, 10.12.2016

"Dann ist doch nach Definition v=0."

Nein. Definition ist

v \in

Kern(A) <=>

A v = 0

. Nicht

v = 0

.
Weiter schreibst Du leider ziemlich wirres Zeug oder einfach falsche Behauptungen wie z.B. Kern liegt im Bild (stimmt in den meisten Fällen nicht).

Dabei ist das doch so trivial:

v \in

Kern

(A)

A v = 0

B v = C A v = C 0 = 0

v \in

Kern

(B)

anonymous

23:44 Uhr, 10.12.2016

Hm ja, ich habe mir die Definition nochmal angesehen und jetzt auch gemerkt, dass das vorhin falsch war, sorry.

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10:46 Uhr, 11.12.2016

Noch Fragen?

anonymous

12:22 Uhr, 11.12.2016

Ja, ist wahrscheinlich eine total blöde Frage, aber kannst du mir vielleicht erklären, wieso man die Eigenschaft mit

K e r n (A) \subseteq K e r n (B)

hier braucht? Ist das, um sicherzustellen, dass B dann injektiv ist?

DrBoogie aktiv_icon

18:04 Uhr, 11.12.2016

"Ist das, um sicherzustellen, dass B dann injektiv ist?"

Na, so ungefähr.

Die Sache ist einfach. Kern(A)

\subset

Kern(B) ist dasselbe wie

A v = 0

B v = 0

.

Jetzt, wenn

B = C A

, habe ich schon gezeigt, dass daraus

A v = 0

B v = 0

folgt.
Umgekehrt, wenn

A v = 0

B v = 0

, definieren wir

C

folgenderweise:

C v = B u

, falls

v = A u

, und erweitern dann

C

trivialerweise auf ganz

V

. Es bleibt zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Was kann dabei schief gehen? Es kann sein, dass

v = A u_{1} = A u_{2}

und so könnte

C v = B u_{1}

und

C v = B u_{2}

zwei verschiedene Werte haben. Das passiert aber nicht, denn

A u_{1} = A u_{2}

A (u_{1} - u_{2}) = 0

B (u_{1} - u_{2}) = 0

B u_{1} = B u_{2}

anonymous

20:13 Uhr, 11.12.2016

Okay, vielen Dank :-)

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