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Kegel,Kegelstumpf,geometrie,Rotationskörper

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Körper

Tags: Körper

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17:38 Uhr, 10.03.2010

Hallo zusammen,

Es geht um die Formel von Wiki: de.wikipedia.org/wiki/Kegelstumpf

Hier ist die Aufgabe: www.picfront.org/d/7tQs

Ich habe versucht das Volumen des Kegelstumps mit der Formel für die Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes aus Wiki zu rechnen:
(Die Rechnung bezieht sich auf die Skizze von Wiki)
Höhe des Kegelstumpfs:

\Rightarrow \frac{3}{4} \cdot h \cdot tan (φ) = R - r

\Rightarrow r = R - (\frac{3}{4} \cdot h) \cdot tan (φ) = R - (\frac{3}{4} \cdot h) \cdot \frac{R}{h} = R - \frac{3}{4} \cdot R = \frac{1}{4} \cdot R

\Rightarrow V = (\frac{h \cdot π}{3}) \cdot (R^{2} + R \cdot r + r^{2})

\Leftrightarrow V = (\frac{h \cdot π}{3}) \cdot (R^{2} + R \cdot \frac{1}{4} \cdot R + {(\frac{1}{4} \cdot R)}^{2})

\Leftrightarrow V = (\frac{h \cdot π}{3}) \cdot (\frac{5}{4} \cdot R^{2} + \frac{1}{16} \cdot R^{2})

\Leftrightarrow V = h \cdot π \cdot R^{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot (\frac{5}{4} + \frac{1}{16})) = \frac{7}{16} \cdot h \cdot π \cdot R^{2}

\Leftrightarrow V = \frac{7}{16} \cdot π \cdot h \cdot R^{2}

Jetzt habe ich versucht das Volumen mit der Formel für Rotationskörper zu berechnen und ich bekomme was ganz anders raus:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi*int%28%28R%2Fh+*+x%29^2%29dx%28x%2Ch%2F4%2Ch%29

\int_{\frac{h}{4}}^{h} {(\frac{R}{h} \cdot x)}^{2} d x = \frac{21}{64} \cdot π \cdot R^{2} \cdot h

Beide Ergebnisse sollten "eine Sache" liefern und zwar das Volumen des Kegelstumpfs. Wieso klappt es jetzt nicht. Wo liegt mein Fehler?! :-)

Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."