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Körper und Matrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Körper, Matrix

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18:14 Uhr, 10.04.2015

Sei

K

ein Körper und

f : M_{22} (K) \to K

definiert durch

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \mapsto

ad - bc für alle

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in M_{22} (K)

.

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung.

Für alle

A, B \in M_{22} (K)

gilt

f (A + B) = f (A) + (B)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Raummessung

Roman-22

18:47 Uhr, 10.04.2015

Versuch mal dein Glück mit

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

.
Das es sich um einen Körper handelt gibts auf jeden Fall neutrale Elemente

(0, 1)

bezüglich der beiden definierenden Operationen, die hier offenbar ohne es zu sagen mit "+" und "*" bezeichnet werden.

Gruß

R

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19:48 Uhr, 10.04.2015

A + B = (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 + 1 \\ 0 + 1 & 1 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Sieht das dann so aus?

anonymous

19:51 Uhr, 10.04.2015

Wie ist die Addition (Skalar f(A) + Matrix B) definiert.

Falls gemeint war: f(A+B) =!= f(A)+f(B)

A = (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

B = (\begin{array}{rcl} e & f \\ g & h \end{array})

A + B = (\begin{array}{rcl} (a + e) & (b + f) \\ (c + g) & (d + h) \end{array})

f(A)=ad-bc
f(B)=eh-gf
f(A+B)=(a+e)(d+h) - (c+g)(b+f)
=(ad +ed +ah +eh)-(bc+cf+gb +gf)
=(ad+ed+ah+eh-bc-cf-gb-gf)
=(ad-bc)+(eh-gf)+(ed+ah-cf-gb)
=f(A)+f(B)+(ed+ah-cf-gb)

Für 0=(ed+ah-cf-gb) gilt die Gleichheit f(A+B)=f(A)+f(B)

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20:03 Uhr, 10.04.2015

Ich studiere seit einer Woche. Wir hatten bisher nur das Thema "Matrizenaddition" ohne zusätzliche Begriffe wie Skalar.

anonymous

20:07 Uhr, 10.04.2015

Skalar ein Zahlenwert, etwa eine natürliche Zahl.

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20:07 Uhr, 10.04.2015

Ich bedanke mich bei Ihnen ganz herzlich! So eine Lösung habe ich wirklich nicht erwartet.

anonymous

20:08 Uhr, 10.04.2015

Gern geschehen.

anonymous

20:08 Uhr, 10.04.2015

Gern geschehen.

Roman-22

20:21 Uhr, 10.04.2015

@StefiMueller

>

Sieht das dann so aus?
Ja, aber mein Versuch, ein Gegenbeispiel zu liefern, ging leider schief.
Versuche es mit

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

damit kannst du zeigen, dass die Addition und die Determinantenbildung im allgemeinen nicht vertauschbar sind.

Das Problem bei der Aufgabe ist ja, nur mit der Körpereigenschaft zu arbeiten und da sind die einzigen Elemente, die wir kennen und voraussetzen dürfen die neutralen Elemente 0 und 1. Mit

1 + 1

hätten wir schon Probleme, da dürfen wir nicht 2 schreiben, denn vielleicht ist

1 + 1 = 1

oder es ist

1 + 1 = 0

. Wir wissen nicht, mit welchem Körper wir es zu tun haben.
Aber das obige Beispiel taugt gut als Gegenbeispiel und umgeht solche Probleme.

Andererseits - so wie die Angabe formuliert ist, würde es auch reichen, EINEN Körper zu finden, in dem die Beziehung nicht gilt und da können wir gern auch den Körper der reellen Zahlen nehmen und dort natürlich mit beliebigen Zahlen ein Gegenbeispiel konstruieren.
Der Vorteil meines Gegenbeispiels ist, dass damit zusätzlich noch gezeigt wird, dass es keinen Körper gibt, für den die zu untersuchende Vertauschbarkeit immer zulässig wäre.

@Ruf012
Natürlich bin ich davon ausgegangen, dass das in der Angabe ein Tippfehler war und die Beziehung

f (A + B) = f (A) + f (B)

betrachtet werden sollte.

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