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Kombinationen bei Zahlenschloss oder Mastermind

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Fakultät, Kombinatorik, Zahlenschloss

 
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schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

16:20 Uhr, 17.07.2009

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Hi

Ich möchte die Kombinationsmöglichkeiten beim Spiel Mastermind, oder auch Superhirn genannt, berechnen um zu ermitteln welcher Kombinationstyp für den Codierer der günstigste ist. Das schöne ist, Niemand braucht dafür das Spiel zu kennen. Kombinatorisch betrachtet sind nämlich ein Zahlenschloss und Mastermind identisch.



Die Summe aller Kombinationsmöglichkeiten bei einem Zahlenschloss mit 4 Rädern, mit den Zahlen von 1-6, beträgt 6^4=1296 .

Nun möchte ich diese Summe in ihre Summanden zerlegen um herauszufinden welcher Kombinationstyp wie oft vorkommt, wobei natürlich die Reihenfolge der einzelnen Zahlen berücksichtigt wird.


Typ1: alle Zahlen sind verschieden Beispiel: 1234

Typ2: zwei Zahlen sind gleich und die beiden anderen Zahlen untereinander verschieden Beispiel: 1314

Typ3: zwei verschiedene Zahlenpaare Beispiel: 1133

Typ4: drei gleiche Zahlen Beispiel: 3633

Typ5: vier gleiche Zahlen Beispiel: 5555


Meine bisherigen Berechnungen:

Typ1: (6über4)*4!=6!/2!=360 Kombinationsmöglichkeiten

Typ2: 6*(4über2)*5*4=720
Typ3: 6*(4über2)*5=180

Typ4: 6*(4über3)*5=120
Typ5: =6


macht insgesamt 1386 Kombinationsmöglichkeiten, 90 zuviel. Ich hatte schon einen Rechenfehler ausgemerzt, aber nun finde ich keinen mehr. Ich vermute den Fehler bei Typ2 oder Typ3, kann aber bisher nichts finden. Wer sieht das was ich nicht seh?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

18:35 Uhr, 17.07.2009

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Hallo,

bei Typ 3 hast Du - wenn ich das richtig verstehe - alles doppelt gezählt:

Wähle eine Zahl für die 1. Position: 6 Möglichkeiten
Wähle Platz für die Wiederholung dieser Zahl: 3
Wähle Zahl für das 2. Paar: 5

Insgesamt: 653=90

Gruß pwm
schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

19:30 Uhr, 17.07.2009

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Hi

schön wenn du Recht hättest, noch verstehe ich dich aber nicht.


Ist es nicht so dass das erste Zahlenpaar mit 4über2 kombiniert werden muss? Wenn das erste Zahlenpaar 11 ist, gäbe es doch, da ja die Reihenfolge berücksichtigt wird, folgende Kombinationen (wobei die beiden y das andere jeweils mögliche Zahlenpaar darstellt):


11yy , 1y1y , 1yy1, y1y1 , y11y , yy11


das sind 6 Möglichkeiten wobei x fünf Zahlen annehmen kann und das erste Zahlenpaar die Zahlen 1-6 annimmt.



allgemein geschrieben (wobei x=erstes Zahlenpaar und y=zweites Zahlenpaar):


xxyy , xyxy , xyyx , yxyx , yyxx , yxxy


x kann 6 Zahlen annehmen und y 5 Zahlen, die beiden x können 4über2 mal auf die vier Stellen verteilt werden. Du meinst das erste Zahlenpaar kann nur dreimal auf die vier Stellen verteilt werden, wenn ich dich richtig verstanden habe?


Wo genau liegt hier nur der Denkfehler
Frage beantwortet
schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

19:57 Uhr, 17.07.2009

Antworten
Okay Danke, ich habs jetzt, bei meiner Rechnung treten alle Kombinationen doppelt auf wie zum Beispiel 1122 und 2211, daher muss man hier mit zwei dividieren