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Komplexe Eigenvektoren berechnen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

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16:14 Uhr, 30.08.2016

Ich habe die Matrix:

(\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array})

Ich habe die Eigenwerte aus gerechnet und die sind:

λ_{1} : - 2; λ_{2} : - 1 + i; λ_{3} : - 1 - i

Nun will ich die Eigenvektoren für

λ_{2}

berechnen
Ich habe dann die folgende Matrix:

(\begin{array}{rcl} i & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 - i & 1 \\ 1 & 0 & i \end{array})

Nun stelle ich die Gleichungen auf:

i x - z = 0

i x = z

Also habe ich für x= 1 und für z=i
Dann will ich y ausrechnen. Somit ergibt sich:

- x + (1 - i) y + z = 0

- 1 + (1 - i) y + i = 0

y = \frac{- i + 1}{- i + 1} = 1

Also hätte ich den Eigenvektor:

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ i \end{array})

Ist meine Rechnung richtig? Denn im Skript wird als Ergebnis

(\begin{array}{rcl} i \\ - i \\ 1 \end{array})

Was mache ich falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:27 Uhr, 30.08.2016

"Ich habe dann die folgende Matrix:"

Nein. In der 1. und der 3. Zeile muss

- i

stehen und nicht

i

MathStudent aktiv_icon

16:42 Uhr, 30.08.2016

Ja, danke. Wenn ich es aber korrigiere komme ich auf die folgenden Werte:

- i x - z = 0

- i x = z

Also habe ich für x= 1 und für z=-i
Dann will ich y ausrechnen. Somit ergibt sich:

- x + (1 - i) y + z = 0

- 1 + (1 - i) y - i = 0

y = \frac{1 + i}{1 - i} = ?

Was kommt nun für y raus? Ich könnte den Bruch mit 1-i erweitern, dann würde ich im Zähler 1-i^2 bekommen, was 2 wäre und im Zähler(1-i)^2. Aber ich denke nicht, dass ich somit weiterkomme?

DrBoogie aktiv_icon

16:52 Uhr, 30.08.2016

Noch ein Fehler: in der Mitte der Matrix muss

- 1 - i

stehen, nicht

1 - i

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20:31 Uhr, 30.08.2016

Ja, danke. Jetzt habe ich als Ergebnis

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - i \end{array})

Das Ergebnis im Skript ist

(\begin{array}{rcl} i \\ - i \\ 1 \end{array})

was ja auch rauskommt, wenn man

(\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - i \end{array})

mit

i

multipliziert.
Meine Frage ist nur, wenn ich diese Matrix in Onlinerechner gebe, dann bekomme ich als Eigenvektor die Lösung vom Skript und nicht meine Lösung. Warum ist das der Fall?

ledum aktiv_icon

22:29 Uhr, 30.08.2016

Hallo
wenn du einen Eigenvektor hast ist jedes Vielfache des EV wieder ein EV
wenn gilt

A \cdot x = λ \cdot x

dann auch

A \cdot (α \cdot x) = λ ⋆ (α \cdot x)

deshalb sind beide Lösungen richtig.
in der Gleichung -ix=z hast du willkürlich

x = 1

gesetzt, das kannst du, eben wegen der Eigenschaft dass vielfache des EV wieder EV sind . Genausogut kannst du

z = 1

setzen oder

x = 17

oder

x = i

oder

x = - i

oder sonstwas
Gruß ledum

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