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Komplexe Integration

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Integration, Komplexe Analysis, Quadrat

mokaan aktiv_icon

20:45 Uhr, 27.07.2010

Hallo ihr Lieben!
Schreibe bald ne Klausur und rechne ein paar Aufgaben durch, aber ich muss sagen, dass ich einige Probleme bei komplexer Integration habe. Hier dazu meine Aufgabe:
Sei

f (z) = z^{3} + z

Es werde über das Quadrat mit den Eckpunkten

0, 1, 1 + i, i

integriert. Dann folgt:

\int_{Q} z^{3} + z d z =

\int_{0}^{1} x^{3} + x d x + \int_{1}^{1 + i} {(i y)}^{3} + i y d (i y) + \int_{1 + i}^{i} x^{3} + x d x + \int_{i}^{0} {(i y)}^{3} + i y d (i y) =

\int_{0}^{1} x^{3} + x d x + \int_{1}^{1 + i} - i y^{3} + i y d (i y) + \int_{1 + i}^{i} x^{3} + x d x + \int_{i}^{0} - i y^{3} + i y d (i y) =

{[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1} + {[- \frac{i}{4} y^{4} + \frac{i}{2} y^{2}]}_{1}^{1 + i} + {[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]}_{1 + i}^{i} + {[- \frac{i}{4} y^{4} + \frac{i}{2} y^{2}]}_{i}^{0} =

(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) + (i - 1 + \frac{i}{4} - \frac{i}{2}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 - i) + (\frac{i}{4} + \frac{i}{2}) =

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \neq 0

Da die Funktion auf dem Gebiet des Quadrats analytisch ist, sollte ja eigentlich 0 rauskommen.
Es wäre super toll, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler ist!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

23:17 Uhr, 27.07.2010

Hallo,
Ich setze mal $z = x + i \cdot y$ Dann ist: $f (z) = f (x + i y) = {(x + i y)}^{3} + (x + i y) = x^{3} - 3 x y^{2} + x + i \cdot (- y^{3} + 3 x^{2} y + y)$
Du hast z.B im 2. Integral alle Terme mit x nicht berücksichtigt, aber x ist auf dem 2. Teilstück nicht 0 sondern 1. Bei den restlichen beiden Integralen wurden ähnliche Fehler gemacht. Ich würde die Randkurve parametrisieren, das macht alles viel einfacher und übersichtlicher. Wenn $α (t)$ eine Randkurve ist, dann berechnet sich das Integral folgendermaßen:
$\int_{Γ} f (z) ⅆ z = \int_{α} f (α (t)) \cdot α^{'} (t) ⅆ t$
Für das erste Teilstück ist $α_{1} (t) = t$ und t läuft von 0 bis 1. Dann ist ${α_{1}}^{'} (t) = 1$ und
$f (t) = t^{3} + t \Rightarrow$
$\int_{0}^{1} (t^{3} + t) \cdot 1 ⅆ t = \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{2} t^{2} | \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
Dies war einfach und deckt sich mit Deinem Ergebnis, deshalb mache ich noch das 2. Teilstück:
$α_{2} (t) = 1 + i \cdot t \Rightarrow {α_{2}}^{'} (t) = i$ und t läuft wieder von 0 bis 1. Es ist dann

$f (1 + i \cdot t) = {(1 + i \cdot t)}^{3} + (1 + i \cdot t) = - 3 t^{2} + 2 + i \cdot (- t^{3} + 4 t) \Rightarrow$

$f (1 + i \cdot t) \cdot {α_{2}}^{'} (t) = i \cdot (- 3 t^{2} + 2) + i^{2} \cdot (- t^{3} + 4 t) = (t^{3} - 4 t) + i \cdot (- 3 t^{2} + 2) \Rightarrow$

$\int_{0}^{1} ((t^{3} - 4 t) + i \cdot (- 3 t^{2} + 2)) d t = (\frac{1}{4} t^{4} - 2 t^{2} + i \cdot (- t^{3} + 2 t)) | \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} =$

$= \frac{1}{4} - 2 + i \cdot (- 1 + 2) = - \frac{7}{4} + i$

Für das 3. Teilstück habe ich $α_{3} (t) = 1 - t + i \Rightarrow {α_{3}}^{'} (t) = - 1, t = 0...1$ und ich bekomme für den Wert des Integrals $\frac{3}{4} - i$ .

Für das 4. Teilstück habe ich $α_{4} (t) = (1 - t) \cdot i \Rightarrow {α_{4}}^{'} (t) = - i, t = 0...1$ und ich bekomme für den Wert des Integrals $\frac{1}{4}$ .

Insgesamt erhalte ich für die Gesamtintegration: $(\frac{3}{4}) + (- \frac{7}{4} + i) + (\frac{3}{4} - i) + (\frac{1}{4}) = 0$

Yokozuna aktiv_icon

09:56 Uhr, 28.07.2010

Noch ein Nachtrag (gestern abend war es schon ziemlich spät). Wenn man es nicht mit einer parametrisierten Randkurve machen möchte, sondern so wie Du es versucht hast, muß man folgendermaßen vorgehen,

z . B

. für das 2. Teilintegral:
Der Integrationsweg läuft von 1 bis

1 + i, d . h

x = 1

und

y

läuft von 0 bis 1. Dann muß man im Integranden

x^{3} - 3 x y^{2} + x + i \cdot (- y^{3} + 3 x^{2} y + y)

zuerst jedes

x

durch 1 ersetzen und erhält dann

1 - 3 y^{2} + 1 + i \cdot (- y^{3} + 3 y + y) = 2 - 3 y^{2} + i \cdot (- y^{3} + 4 y)

. Da wir in Richtung der imaginären Achse integrieren, müssen wir noch mit

i

multiplizieren:

i \cdot (2 - 3 y^{2} + i \cdot (- y^{3} + 4 y)) = i \cdot (2 - 3 y^{2}) + i^{2} \cdot (- y^{3} + 4 y) = y^{3} - 4 y + i \cdot (2 - 3 y^{2})

Dieser Ausduck ist jetzt über

y

von 0 bis 1 zu integrieren (es steht jetzt dasselbe da, wie bei Verwendung einer parametrisierten Kurve).

Parametrisierte Kurven sind besonders dann vorteilhaft, wenn die Kurve gekrümmt ist,

z . B

. Integration über einen Kreis etc.

mokaan aktiv_icon

15:31 Uhr, 28.07.2010

Jau, Danke!
Das klingt doch alles sehr logisch.
Ich muss auch gestehen, dass Kreise oder Ellipsen mir keine Probleme gemacht haben, nur eben dieses Quadrat. Aber auf diese Rechnung hätte ich auch so kommen können...
Aber vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort!

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