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Komplexe Zahlen in gaußscher Zahlenebene

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Darstellung, Gausssche Zahlenebene, Komplexe Zahlen

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18:58 Uhr, 08.10.2015

Hallo,

ich habe ein Problem bei der Darstellung dieser beiden Ausdrücke in der Gaußschen Zahlenebene.

| z + 4 i - 3 | = 3

| z + 1 | \leq | z - 1 |

Bei der ersten Aufgabe kam ich noch einigermaßen zurecht:

z = x +

| x - 3 +

+ 4 i | = 3

((x -

3)²

+ (y +

4)²)^(1/2)

= 3

- \to m = (3 | - 4)

und

r = 3

Aber bei der zweiten Aufgabe habe ich Probleme mit dem Rechenweg und dem allgemeinen Verständnis.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

19:12 Uhr, 08.10.2015

Welches Ergebnis liefert dir denn deine Methode mit

z = x + i \cdot y

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21:22 Uhr, 08.10.2015

Im zweiten Fall?

| x +

+ 1 | \leq | x +

- 1 |

Respon

21:23 Uhr, 08.10.2015

Ja, und weiter ?

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21:27 Uhr, 08.10.2015

An der Stelle fällt mir nur noch ein i²

= - 1

zu setzen, aber ich denke nicht, dass das was bringt.

Respon

21:32 Uhr, 08.10.2015

x + i \cdot y + 1 = (x + 1) + i \cdot y

Wie sieht davon der Betrag aus ?

Respon

21:41 Uhr, 08.10.2015

Und, alles klar ?

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21:48 Uhr, 08.10.2015

Nein, ich weiß es nicht.

Respon

21:53 Uhr, 08.10.2015

| x + i \cdot y | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

| (x + 1) + i \cdot y | = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}

Respon

21:56 Uhr, 08.10.2015

Analog mit

| (x - 1) + i \cdot y |

\Rightarrow

\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}}

{(x + 1)}^{2} + y^{2} \leq {(x - 1)}^{2} + y^{2}

x^{2} + 2 \cdot x + 1 + y^{2} \leq x^{2} - 2 \cdot x + 1 + y^{2}

2 \cdot x \leq - 2 \cdot x

4 \cdot x \leq 0

x \leq 0

Und jetzt dieses Ergebnis interpretieren

(x

ist der Realteil ).

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22:07 Uhr, 08.10.2015

Vielen Dank.

Respon

22:09 Uhr, 08.10.2015

Wo liegen jetzt diese komplexen Zahlen ( Skizze ) ?

rundblick aktiv_icon

22:15 Uhr, 08.10.2015

.
"Wo liegen jetzt diese komplexen Zahlen"

lass uns mal spekulieren, Respon:
du vermutest auch, dass der Typ diese Frage nicht richtig beantworten wird ?

.

.

Respon

22:17 Uhr, 08.10.2015

Na ja, ich wollte nur sicher gehen

. .

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22:41 Uhr, 08.10.2015

Das Plugin zum Zeichnen geht bei Google Chrome nicht, deswegen würde ich einfach mal sagen alle Zahlen unter der

x -

Achse?

Desweiteren hab ich noch eine Aufgabe:

(z +

i)³

= - 8 i

Wenn ich da jetzt wieder

z = x +

iy einsetze, komme ich auf:

((x +

iy)

+

i)³

= - 8 i

Wenn ich da jetzt aber wieder auf i² kommen will weiß ich nicht wie ich das machen soll:

((x +

iy)

+ i)^{6} = - 64

\to

wie erhalte ich jetzt einen vernünftigen Ansatz? Da in der vorderen Klammer ja nur

\frac{+}{-}

sind, kann ich ja die Glieder nicht einzeln quadrieren?

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22:43 Uhr, 08.10.2015

& nein, ich antworte schon. Ich war nur am Rechnen, das dauert ein bisschen länger bei mir. Vielen Dank auf jeden Fall für die Mühe die du dir gibst.

rundblick aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.10.2015

.
"deswegen würde ich einfach mal

s a g e n

alle Zahlen unter der x− x− Achse?"

................Respon scheint sprachlos ob dieser Sage ..

hier noch ein etwas anderer Tipp zu den "Beträgen"

\to

\to

Beträge sind Abstände

Beispiele:

z \in C \Rightarrow

| z | \to

ist der Abstand des Punktes

z = (x; y)

vom Ursprung

(0; 0)

| z - 1 | \to

ist der Abstand des Punktes

z = (x; y)

vom Punkt

(1; 0) \in C

| z + 1 | \to

ist der Abstand des Punktes

z = (x; y) \to

rate mal ?

also sind alle Punkte

z,

für die gilt

\to | z + 1 | = | z - 1 |

von den zwei festen Punkten

(1; 0)

und ? gleich weit entfernt

\to

die Ortsline, auf der

z

dann herumliegt, hat einen berühmten
Namen, den du vielleicht aus deiner Schulzeit schon kennst

\to ... .

.

und jetzt kannst du noch eine Entdeckung selbst machen:
alle Punkte

z,

für die gilt :

\to | z + 1 | \leq | z - 1 |

füllen eine ganze Halbebene

\to

WELCHE?

kurz dazu->

{(z + i)}^{3} = - 8 i

Empfehlung: informiere dich über die Darstellungsformen komplexer Zahlen
und denke dann darüber nach

\to

{(z + i)}^{3} = 8 \cdot e^{(\frac{3}{2} π + 2 k π) \cdot i} . .

. für

k \in Z

\Rightarrow

die drei Lösungen der Gleichung sind dann

z_{k} = - i + 2 \cdot e^{(\frac{π}{2} + \frac{2}{3} k π) \cdot i} . .

. für

k = 0, 1, 2

rückverwandeln in Normalform

\Rightarrow

z_{0} = i

z_{1} =

z_{2} =

??

fertig.
.

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12:38 Uhr, 09.10.2015

Erstmal vielen Dank, bis hierher war es schon sehr hilfreich. Ich denke, der zweite Punkt ist

P (- 1 | 0)

und die Ortslinie liegt auf der x-Achse?

rundblick aktiv_icon

15:26 Uhr, 09.10.2015

.

"Ich denke, der zweite Punkt ist

P (- 1 | 0)

"
Denken ist super .. also du suchst nun den Ort für alle Punkte der Ebene,
die von den zwei festen Punkten

P (- 1 | 0)

und

Q (+ 1 | 0)

gleich weit entfernt sind

\to

"und die Ortslinie liegt auf der x-Achse?"

\to

ich werde dich im mathematischen Kindergarten anmelden, damit du stressfrei
lernst, wie die Mittelsenkrechte zur Strecke PQ aussieht.

und dann bleibt ja allemal noch die Beschreibung der Lösungsmenge der Ungleichung

| z + 1 | \leq | z - 1 |

als nächstes Denk-Problem..

.

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