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Konvergenz

Schüler

Tags: Folge

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22:03 Uhr, 19.08.2013

Hallo ich habe probleme bei einer Aufgabe:

Gegeben sei die Folge

a_{n} :

a_{n} : n \cdot (ln (n + 1) - ln (n))

Zeigen sie das die Folge konvergent ist und bestimmen sie ihren Grenzwert.

Hat jemand tips für mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

22:11 Uhr, 19.08.2013

Tipp:

verwende die Logarithmengesetze
zB:

ln (a) - ln (b) =

?
und

m \cdot ln (x) = ln (x^{m})

\to a_{n} =

?

ok?

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22:16 Uhr, 19.08.2013

Mein erster Schritt würde so aussehen:

n \cdot (ln (\frac{n + 1}{n})

Wie gehe ich weiter vor?

rundblick aktiv_icon

22:19 Uhr, 19.08.2013

"Wie gehe ich weiter vor?"

\to

MACH DEN ZWEITEN SCHRITT, den ich dir oben auch schon notiert habe:

wende das Gesetz

m \cdot ln (x) = ln (x^{m})

auf deinen Ausdruck an ..

also

\to a_{n} =

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22:21 Uhr, 19.08.2013

Wäre das so in Ordnung ?

rundblick aktiv_icon

22:29 Uhr, 19.08.2013

"Wäre das so in Ordnung ? "

\to

... ... ... ... ... . .

. NEIN

... ... ... ... .

.

also der Reihe nach :

a_{n} = n \cdot ln (1 + \frac{1}{n}) = ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})

ist noch richtig

betrachte nun zunächst die Folge

b_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

da weisst du offenbar,
wie der Grenzwert aussieht:

lim_{n \to \infty} b_{n} =

\to

??

http//de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

PS: bist du überhaupt noch da?

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22:49 Uhr, 19.08.2013

Wäre

ln (e^{n})

richtig?

michaL aktiv_icon

22:51 Uhr, 19.08.2013

Hallo,

crosspost in www.matheboard.de/thread.php?threadid=526878

Mfg Michael

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22:52 Uhr, 19.08.2013

Ist das ergebnis richtig leute?

rundblick aktiv_icon

22:56 Uhr, 19.08.2013

NEIN .. das steht doch schon oben, dass das falsch ist

!!

du sollst dir klarmachen, was

lim_{x \to \infty} (b_{n})

gibt,
wenn

b_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

ist

und was folgt dann für

lim_{x \to \infty} (ln (b_{n})) =

?

oh

\to

sehe oben, du bist ja ein Unbelehrbarer
also : auch hier Schluss mit Antworten...
danke michaL

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23:00 Uhr, 19.08.2013

Das

ln

hebt sich doch irgendwie durch das

e

auf oder ?

Ich weiss nicht so ganz genau was e^

{

unendlich} ist

anonymous

23:47 Uhr, 19.08.2013

Ja, da hebt sich etwas auf. Der Fehler liegt jedoch schon davor.

Was ist denn

lim_{n \to \infty} {(\frac{n + 1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} =

?

Das ist nämlich weder

e^{n}

noch

e^{\infty}

. Und da liegt dein Fehler, was auch schon rundblick versucht hat dir mitzuteilen.

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00:06 Uhr, 20.08.2013

Das ist einfach nur

e

oder ?

Nach meiner Formelsammlung.

anonymous

02:36 Uhr, 20.08.2013

Genau, das ist die eulersche Zahl

e

.

Da die ln-Funktion stetig ist darf man die Grenzwertbildung "hineinziehen". Also gilt insgesamt:

lim_{n \to \infty} a_{n} = ... = lim_{n \to \infty} ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n}) = ln (lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}) = ln (e)

Wenn du jetzt also noch darauf kommmt, was

ln (e)

ist, bist du fertig.

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10:30 Uhr, 20.08.2013

ln (e)

ist einfach

= e

oder ?

Grenzwert

= e

Matheboss aktiv_icon

10:47 Uhr, 20.08.2013

Wohl nicht!

Formelsammlung

{log}_{a} (a) = 1

für

a > 0

ln (e) = {log}_{e} (e) = . .

.

oder nimm einfach den TR!

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11:31 Uhr, 20.08.2013

Das war eine Klausur aufgabe und in der Klausur darf man keinen taschenrechner benutzen .

Wie müsste ich das denn machen?

Bummerang

11:36 Uhr, 20.08.2013

Hallo,

"Wie müsste ich das denn machen?"

Die im Post davor angegebenen Gleichungen verstehen oder wenigstens auswendig lernen und im konkreten Fall die letzte Gleichung unter Zuhilfenahme der ersten vervollständigen,