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Konvergenz einer Potenzreihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionenreihen

Tags: Folgen und Reihen, Funktionenreihen

Berntensen

19:43 Uhr, 25.04.2017

Hallo, heute mal eine Frage zu einem Bereich der Mathematik mit dem ich wirklich auf Kriegsfuß stehe. Es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben ist die folgende Potenzreihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n^{2} 2^{2 n}} (x + 1)^{n}

Man soll nun die Menge der

x \in ℝ

angeben, für die die Potenzreihe konvergiert.
Grundsätzlich würde ich mit dem Quotientenkriterium rangehen, aber am "Rausziehen" von

a_{n}

bzw.

a_{n - 1}

scheitert es eigentlich schon. Ich hatte zuerst

a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n^{2} 2^{2 n}}

aber da unterschlage ich ja das

n

vom

(x + 1)^{n}

. Könnte mir evtl. jemand einen Rat geben, wie sich das Problem besser angehen lässt? Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:51 Uhr, 25.04.2017

Tipp:

Reihe

= \sum \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}} \cdot {(\frac{x + 1}{4})}^{n}

anonymous

19:58 Uhr, 25.04.2017

...und konsequent Quotientenkriterium - ohne "Unterschlagung" - hast du eigentlich zielführend erkannt.

anonymous

23:20 Uhr, 25.04.2017

Ich schiebe mal noch ein bisschen an:

Reihe

= \sum \frac{1}{n^{2}} \cdot {(- \frac{x + 1}{4})}^{n}

Quotientenkriterium:

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = lim \frac{n^{2} \cdot {(- \frac{x + 1}{4})}^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2} \cdot {(- \frac{x + 1}{4})}^{n}}

= lim \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} \cdot lim (- \frac{x + 1}{4})

Berntensen

12:38 Uhr, 26.04.2017

Vielen Dank für deine Antworten. Ich brauchte erst einen Moment um zu verstehen, aber ich denke ich konnte nun deine Schritte nachvollziehen. Wenn ich am Ende die beiden Limes ermittle erhalte ich quasi:

1 * - \infty = - \infty

Ist dieses Ergebnis dann so zu interpretieren, dass die Reihe für alle

x \in ℝ

konvergiert?

anonymous

12:41 Uhr, 26.04.2017

Wie kommst du auf

1 \cdot (- \infty)

?
Bedenke, das sind doch

lim_{n \to \infty} ... \cdot lim_{n \to \infty} . .

.
Willst du nochmals besser?

Berntensen

12:48 Uhr, 26.04.2017

Ich habe für n

\infty

eingesetzt und erhalte damit:

\frac{\infty^{2}}{(\infty + 1)^{2}} = 1

Allerdings habe ich das gleiche auch für x gemacht und da ist vermutlich auch mein Fehler. Insofern würde ich mich über einen weiteren Gedankenanstoss freuen.

anonymous

12:58 Uhr, 26.04.2017

Ganz recht:

lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} = 1

Wenden wir uns dem zweiten Teilausdruck zu.
Der ist eigentlich noch viel, viel einfacher.

a)

Wie groß ist denn

- \frac{x + 1}{4}

wenn, sagen wir mal

z . B ., n = 77

b)

Wie groß ist denn

- \frac{x + 1}{4}

wenn, sagen wir mal

z . B ., n = 777777

c)

Wie groß ist denn

- \frac{x + 1}{4}

wenn, sagen wir mal

z . B

n = 77777777777777777777

d)

Jetzt wird es nicht mehr schwer sein.
Wie groß ist denn

lim_{n \to \infty} - \frac{x + 1}{4}

Berntensen

14:57 Uhr, 26.04.2017

Auf die Gefahr hin jetzt wieder aufm Schlauch zu stehen:
Das n hat keinerlei Einfluss, also ist

lim_{n \to \infty} - \frac{- x + 1}{4} = - \frac{- x + 1}{4}

anonymous

16:21 Uhr, 26.04.2017

Ähm, ja.... da ist links wie rechts der Gleichung noch irgendwie ein Minuszeichen reingerutscht.
Aber im Kern absolut richtig.
Der Ausdruck ist unabhängig von

n

.
Folglich sind die Ausdrücke

a) - d)

alle gleich

- \frac{x + 1}{4}

Ja, gar kein Schlauch, und glücklicherweise so einfach.
Jetzt müssen wir (du) nur noch die richtigen Schlüsse ziehen.

Berntensen

17:36 Uhr, 26.04.2017

Ok, da in der Aufgabenstellung Konvergenz vorgegeben ist muss der Term

- \frac{x + 1}{4} < 1

sein. Damit habe ich dann eine Ungleichung, die sich umformen lässt zu

∣ - x - 1 ∣ < 4

und daraus lässt sich ablesen, dass das x für Konvergenz der Reihe im folgenden Bereich liegen muss:

x \in ℝ (- 5 < x \leq \infty)

anonymous

21:15 Uhr, 26.04.2017

| - x - 1 | < 4

war ja noch richtig.
Wenn es dir nun noch gelingt, die Ungleichung richtig zu Ende zu führen...

Berntensen

13:41 Uhr, 05.05.2017

Du hast recht, da ist mir ein Fehler unterlaufen, die Lösung der Ungleichung ist:

- 5 < x < 3

. Jetzt sollte es passen. Vielen dank nochmal für deine Hilfe!

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