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Konvergenz und Reihenwerte von Potenzreihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Potenzreihe, Reihenwert

Dobby1 aktiv_icon

16:32 Uhr, 03.12.2013

Hallo,
ich muss die Konvergenz und Reihenwerte folgender Potenzreihen bestimmen und ich komme einfach nicht weiter.
a)

\sum (n + 1) * (n + 2) * x^{n}

die summe geht von n= 0 bis unendlich
für die konvergenz habe ich das Wurzelkrit benutzt und habe herausbekommen, dass die Reihe für x=0 konvergiert mit dem Reihenwert 0

jetzt weiss ich aber überhaupt nicht mehr wie ich die Reichenwerte für

x \neq 0

ausrechnen kann

b)

\sum 2 n * (- \frac{4}{9})^{n} * x^{(2 n - 1)}

ich habe da mit dem Quotientenkit die den Konvergenzradius ausgerechnet und kam auf r = 8/9
daraus kann ich folgern dass für x < 8/9 die reihe konvergiert oder?

dann hab ich versucht den Reihenwert zu berechnen

\frac{1}{x} \sum 2 n * (x^{2} * (- \frac{4}{9})^{n}

da weiss ich jetzt auch nicht mehr wie ich des weiter vereinfachen kann damit ich den Reihenwert bekomme

c)

\sum \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

hier habe ich ebenfalls wiedermit dem Wurzelkrit den Konvergenzradius ausgerechnet und herausbekommen dass

r = \infty

ist

leider schaffe ich es wieder nicht den reihenwert auszurechnen

Schon einmal Vielen Dank für die Unterstüzung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:31 Uhr, 03.12.2013

Hallo,

Deine Aussagen zur Anwendung der Kriterien scheinen mir etwas verschwommen oder falsch (bei a und

b)

. Vielleicht solltest Du mal Deine Überlegung / Rechnung posten.

Was die Berechnung der Reihen angeht, kannst Du Dir überlegen, dass

z . B

. die Reihe bei

a)

die zweite Ableitung einer bekannten Reihe ist.

Gruß pwm

Dobby1 aktiv_icon

18:38 Uhr, 03.12.2013

Hallo,
ja ihc habe bemerkt dass es bei der a falsch war, habe es auch nochmal berechnet

Wurzelkrit:

\sqrt[n]{n + 1} * \sqrt[n]{n + 2}

konvergiert für n gegeb unendlich gegeb 1

daraus kann man schliessen dass der radius 1 ist
und die reihe konvergiert für den betrag von x < 1

so und wie kann ich jetzt den reihenwert berechnen?
ich weiss dass
|x| =

\frac{1}{x - 1}

ist

aber mir ist jetzt nicht klar wie ich das anwenden kann

schon einmal danke für die Antwort.

bei der b) habe verwende ihc ebenfalls das wurzelkrit

\sqrt{∣ 2 n ∣} * \sqrt{∣ (- 4 / 9)^{n} ∣} = \sqrt{∣ 2 n ∣} * ∣ (- 4 / 9) ∣

\sqrt{2 n}

ghet für n gegen unendlich gegen2
deshalb geht der ganze ausdruck für n gegen unendlich gegen |-8/9| also gegen 8/9

daraus folgt dass r = 8/9 ist
daraus kann man shclissen dass |x|< 8/9 ist reihe konvergent und für |x|> 8/9 ist reihe divergent

ist das richtig?

bei der c kann ich dort vielleicht verwenden, dass

\sum (- 1)^{n} * \sqrt[x^{(} 2 n + 1)]{(2 n + 1)!} s i n (X) i s t . .

ich könnte es ja so erweitern

\sum (- 1)^{n} * \frac{x^{(} 2 n + 1)}{(2 n + 1)!} * \frac{1}{- 1^{n}}

s i n (x) * \sum \frac{1}{(- 1)^{n}}

kann ich jetzt shcon mein grenzwert ablesen?

pwmeyer aktiv_icon

08:57 Uhr, 04.12.2013

Hallo,

bei a stimmt jetzt die Überlegung zum Konvergenzradius.

Zur Berechnung des Reihenwerts: Es gilt:

(n + 2) \cdot (n + 1) \cdot x^{n} = \frac{d^{2}}{d x^{2}}

??

Zu

b)

Das Wurzelkriterium gitl in dieser Form für Potenzreihen

\sum a_{n} \cdot x^{n},

du hast aber

\sum a_{n} \cdot x^{2 \cdot n - 1}

. Was ändert sich dadurch?

Zu

c)

Für den Konvergenzradius wäre hier das Quotientenkriterium einfacher.

Deine Berechnung zum Reihenwert ist falsch, schreib das doch mal genau auf und überlege, welchen Rechenregeln Du verwendest.

Ein Tipp dazu: Schreib mal die Potenzreihen für

e x p (x)

und

e x p (- x)

auf.

Gruß pwm

Dobby1 aktiv_icon

17:52 Uhr, 04.12.2013

Hallo die a habe ihc nun rausbekommen

der Reihenwert ist

\frac{2}{(1 - x)^{3}}

bei der c habe ich dann durch das Wurzelkriterium dass die Reihe den radius undendlich hat
also für jedes x konvergent ist

\sqrt[2 n + 1]{(2 n + 1)!)}

geht gegen null für n gegen unendlich

und der Reihenwert ist sinh(x) ist das richtig?

jetzt bei der b hänge ich immer noch
ich hab als radius wieder unedlich herausbekommen da

\sqrt[2 n - 1]{(2 n)) \sqrt[2 n - 1]{((- 4 / 9)^{n}))}}

die erste wurzel konvergiert gegen 1 und die zweite gegen0 also konvergiert es insgemsamt gegen 0 ist das richtig?

aber bei der reihenwertberechnung komm ich nicht weiter.
ich finde nichts in dass ich die summe umwandlen kann, damit es kein summenzeichen mehr hat

vielen dank shcon mal für die hilfe

pwmeyer aktiv_icon

21:32 Uhr, 04.12.2013

Hallo,

schreib mal für die Reihe:

\frac{2}{x} \cdot \sum n \cdot {((- \frac{4}{9}) \cdot x^{2})}^{n}

leite eine Formel für

\sum n \cdot y^{n} = \sum (n + 1) \cdot y^{n} - \sum y^{n}

her und ersetzt dann

y = (- \frac{4}{9}) \cdot x^{2}

Dabie musst Du auf den Summenanfang achten (hast du nicht angegeben). Dann klärt sich auch die Frage des KRadius.

Gruß pwm

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