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Kreis - Umfang und Inhalt

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie berechne ich den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Flächeninhalt eines Kreisrings

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Kreiszahl Pi

Für was steht die Zahl

π

und was bringt sie mir?

Gegeben:

r

(Radius) oder

d

(Durchmesser)
Gesucht:

U

(Umfang des Kreises), A (Flächeninhalt)

1. Beispiel

Gegeben:

r = 2

\Rightarrow U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 2 = 4 \cdot π \approx 12,57

\Rightarrow A = π \cdot r^{2} = π \cdot 2^{2} = 4 \cdot π \approx 12,57 c m^{2}

2. Beispiel

Gegeben:

d = 8

\Rightarrow U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot \frac{d}{2} = π \cdot 8 \approx 25,13

\Rightarrow A = π \cdot r^{2} = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} = π \cdot {(\frac{8}{2})}^{2} = π \cdot 4^{2} = π \cdot 16 \approx 50,26 c m^{2}

Gegeben:

U

(Umfang des Kreises) oder A (Flächeninhalt)
Gesucht:

r

(Radius) oder

d

(Durchmesser)

1. Beispiel

Gegeben:

U = 12

cm

Formel für Kreisumfang nach

r

oder

d

umstellen:

U = 2 \cdot π \cdot r \Rightarrow r = \frac{U}{2 \cdot π}

U = π \cdot d \Rightarrow d = \frac{U}{π}

\Rightarrow r = \frac{12}{2 \cdot π} = \frac{6}{π} \approx 1,91

\Rightarrow d = \frac{12}{π} \approx 3,82

cm

2. Beispiel

Gegeben:

A = 12 c m^{2}

Formel für Kreisinhalt nach

r

oder

d

umstellen:

A = π \cdot r^{2} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{π}}

A = \frac{1}{4} \cdot π \cdot d^{2} \Rightarrow d = \sqrt{4 \cdot \frac{A}{π}}

\Rightarrow r = \sqrt{\frac{12}{π}} \approx 1,95

\Rightarrow d = \sqrt{4 \cdot \frac{12}{π}} = \sqrt{\frac{48}{π}} \approx 3,91

Gegeben:

U

(Umfang des Kreises) oder A (Flächeninhalt)
Gesucht: A (Flächeninhalt) oder

U

(Umfang des Kreises)

1. Beispiel

Gegeben:

U = 12

cm

Formel für Kreisumfang nach

r

oder

d

umstellen und in Formel für Kreisinhalt einsetzen:

U = 2 \cdot π \cdot r \Rightarrow r = \frac{U}{2 \cdot π} = \frac{12}{2 \cdot π} \approx 1,91

\Rightarrow A = π \cdot r^{2} = π \cdot {(1,91)}^{2} \approx 11,46 c m^{2}

2. Beispiel

Gegeben:

A = 12 c m^{2}

Formel für Kreisinhalt nach

r

oder

d

umstellen und in Formel für Kreisumfang einsetzen:

A = π \cdot r^{2} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{π}} = \sqrt{\frac{12}{π}} \approx 1,95

\Rightarrow U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 1,95 = 12,25

Gegeben: Umfang

U

eines Kreises wird verlängert
Gesucht: Wie ändert sich die Länge des Radius

r

?

Beispiel

Gegeben: Umfang

U

des Kreises wird um 1 cm verlängert

U = 2 \cdot π \cdot r

\Rightarrow r = \frac{U}{2 \cdot π}

U

wird um 1 cm verlängert:

\Rightarrow r_{n e u} = \frac{U + 1}{2 \cdot π} = \frac{U}{2 \cdot π} + \frac{1}{2 \cdot π} = r_{a l t} + \frac{1}{2 \cdot π}

\Rightarrow

Nach der Verlängerung des Umfanges ist der Radius um den Wert

\frac{1}{2 \cdot π}

gestiegen.
Interessant ist, dass die Veränderung des Radius nicht abhängig vom Anfangswert des Umfanges ist,

d . h

. es ist egal ob man den Umfang eines sehr kleinen Kreises

(z . B

. einer Münze) oder eines sehr großen Kreises

(z . B

. Umfang der Erde) um einen bestimmten Wert verlängert, die Radien änder sich um den selben Faktor!

Gegeben:

r

(Radius)
Gesucht: zurückgelegte Strecke eines rotierenden Körpers

Beispiel

Gegeben: Ein Mann wirbelt einen Jojo um sich 5 mal herum. Der Jojo ist an einem Faden gespannt. Der Faden ist

1 m

lang.

Das Jojo beschreibt eine Kreisbahn. Der Umfang der Bahn ist gleich

U = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 1 = 2 \cdot π \approx 6,28 m

\Rightarrow

Bei einer Umdrehung legt das Jojo eine Strecke von ca.

6,28

Meter zurück

Bei 5 Umdrehungen sind es dann:

5 \cdot 6,28 \approx 31,4

Meter

559111

524483

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