Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades II

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades II

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
Neue Frage stellen Im Forum suchen
Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 4. Grades durch?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e

wobei x die Variable und a,b,c,d und e die Koeffizienten sind. (a,b,c,d,e)

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:


1) Ableitungen bilden:   f'(x),f''(x) und f'''(x)

Wie man eine ganzrationale Funktion 4. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableitung einer Polynomfunktion



2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Für einer ganzrationale Funktion 4. Grades gilt stets:   D=



3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:   f(x)=0

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat maximal 4 Nullstellen.

Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden:
Nullstellen von Polynomfunktionen



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

limxf(x)

limx-f(x)

Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades der Term ax4 den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen:

Ist der Koeffizient a positiv, dann ist

limxf(x)=+
(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

und

limx-f(x)=+
(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)


Ist der Koeffizient a negativ, dann ist

limxf(x)=-
(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)
und

limx-f(x)=-
(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)



5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f(-x)=f(x)     Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f(-x)=-f(x)     Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)



6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da ganzrationale Funktionen 4. Grades stetig sind, gilt:

f'(x)>0     Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)<0     Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.



7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:   f'(x)=0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen



8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:     f''(x)=0

Prüfung mit f'''(x0)0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen



9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.
Beispiel

f(x)=-x4+2x3



1) Ableitungen bilden:

f'(x)=-4x3+6x2

f''(x)=-12x2+12x

f'''(x)=-24x+12



2) Definitionsbereich bestimmen:

D=



3) Nullstellen bestimmen:

f(x)=0

-x4+2x3=0

Ausklammern von x3:

x3(-x+2)=0

x1=0     (dreifache Nullstelle)

x2=2


Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen 0 und 2

KD_ganzrat_4Grades_II_Nullstellen



4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

limxf(x)=-,     da a=-1<0

limx-f(x)=-,     da a=-1<0

KD_ganzrat_4Grades_II_Grenzwerte



5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

Da sowohl ungerade als auch gerade Hochzahlen in der Funktion vorkommen, kann eine Symmetrie zum Koordinatensystem ausgeschlossen werden.
6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen (in welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f'(x)=-4x3+6x2

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f'(x)=0

  -4x3+6x2=0

Ausklammern von x2:

x2(-4x+6)=0

  x1=0

-4x+6=0

  x2=64

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Man erkennt leicht, dass der Vorzeichenwechsel nur durch den zweiten Faktor der Ableitung bestimmt wird (x2 ist immer positiv).

f'(x)<0   für   x]64;[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

f'(x)>0   für   x]-;64[
Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

KD_ganzrat_4Grades_II_Ableitung2

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

KD_ganzrat_4Grades_II_Ableitung

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f'(x)=0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion ein Extrempunkt an den Stellen x2=64

Bei x2=64 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von + nach - Maximum

Bei x1=0 wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen nicht! Es bleibt immer positiv.
Einsetzten von x1 in die zweite Ableitung zeigt, dass x1 auch eine Nullstelle der zweiten Ableitung ist.

f''(x)=-12x2+12x

f''(0)=-120+120=0

Evlt. liegt bei x1=0 ein Terrassenpunkt vor.

f'''(x)=-24x+12

f'''(0)=-240+12=120

Bei x1=0 hat die Funktion ein Terrassenpunkt.


f(0)=0

    P(0|0) Terrassenpunkt

f(64)=-(64)4+2(64)3=2716

    Q(64|2716) Maximum


KD_ganzrat_4Grades_II_Extrema



8) Wendepunkte bestimmen:

Mit dem Terrassenpunkt bei (0|0) haben wir bereits einen Wendepunkt gefunden.
Es könnte aber noch weitere Wendepunkte geben.

f''(x)=0

  -12x2+12x=0

Ausklammern von x:

x(-12x+12)=0

x1=0

x2=1

x1 wurde bereits untersucht (s.o)


f'''(x)=-24x+12

  f'''(x2)=f'''(1)=-241+12=-120

Bei x2=1 hat die Funktion ein Wendepunkt.

  f'''(1)=-12<0

Bei x2=1 wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

f(1)=-14+213=1

      W1(1|1)   Wendepunkt


KD_ganzrat_4Grades_II_Wendepunkt



9) Zeichnung:

KD_ganzrat_4Grades_II_Graph
 
Qmn_partnerlogo_neg_fond_klein_2014