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Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
Krümmungsverhalten
Nullstellen

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f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

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Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 5. Grades lautet:

f (x) = a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2} + e x + f

wobei

x

die Variable und die

a, b, c, d, e

und

f

die Koeffizienten sind.

(a, b, c, d, e, f \in ℝ)

Eine Kurvendiskussion folgt immer dem gleichen Ablauf:

1) Ableitungen bilden:

f' (x), f'' (x)

und

f''' (x)

Wie man eine ganzrationale Funktion 5. Grades ableitet kann hier nach gelesen werden:
Ableitung einer Polynomfunktion

2) Definitionsbereich bestimmen

In der Regel stellt man fest wo die Funktion NICHT definiert ist.

Für einer ganzrationale Funktion 5. Grades gilt stets:

D = ℝ

3) Nullstellen bestimmen

Die Funktion schneidet in diesen Punkten die x-Achse.

Ansatz:

f (x) = 0

Eine ganzrationale Funktion 5. Grades hat maximal 5 Nullstellen.

Wie man Nullstellen im Detail bestimmt kann hier nach gelesen werden:
Nullstellen von Polynomfunktionen

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs

Man bildet folgende Grenzwerte:

lim_{x \to \infty} f (x)

lim_{x \to - \infty} f (x)

Wie bei jeder Polynomfunktion bestimmt der Term mit der höchsten Potenz den charakteristischen Verlauf der Funktion. Somit bestimmt bei einer ganzrationalen Funktion 5. Grades der Term

a x^{5}

den Verlauf des Funktionsgraphen für ganz große bzw. sehr kleine Zahlen:

Ist der Koeffizient a positiv, dann ist

lim_{x \to \infty} f (x) = + \infty

(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

und

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty

(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)

Ist der Koeffizient a negativ, dann ist

lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty

(Für ganz große Zahlen hat die Funktion beliebig kleine, negative Funktionswerte)
und

lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty

(Für ganz kleine Zahlen hat die Funktion beliebig große, positive Funktionswerte)

5)Symmetrie zum Koordinatensystem

I.d.R ist zu prüfen ob gilt:

f (- x) = f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse

f (- x) = - f (x) \Rightarrow

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

6) Monotonieverhalten

In welchen Abschnitten wächst/fällt die Funktion streng monoton?

Man untersucht in welchen Bereichen die erste Ableitung größer und kleiner 0 ist.

Da ganzrationale Funktionen 5. Grades stetig sind, gilt:

f' (x) > 0

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

7) Extrema /Terrassenpunkte
Wo hat die Funktion Minima, Maxima oder Terrassenpunkte?

Der Ansatz ist:

f' (x) = 0

Zusammen mit dem Monotonieverhalten kann dann unterschieden werden zwischen Maxima, Minima und Terrassenpunkt.

Wie man Extrempunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Wie man zwischen Extrempunkt und Terrassenpunkt unterscheidet kann hier nachgelesen werden:
Sattelpunkte oder Terassenpunkte eines Funktionsgraphen

8) Wendepunkte

Wo hat die Funktion Wendepunkte?

Der Ansatz ist:

f'' (x) = 0

Prüfung mit

f''' (x_{0}) \neq 0

Wie man Wendepunkte bestimmt kann hier nachgelesen werden:
Wendepunkte eines Funktionsgraphen

9) Zeichnung

Der Graph der Funktion kann in einem Koordinatensystem eingezeichnet werden.

Beispiel

f (x) = 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x

1) Ableitungen bilden:

f' (x) = 10 x^{4} - 12 x^{2} + 2

f'' (x) = 40 x^{3} - 24 x

f''' (x) = 120 x - 24

2) Definitionsbereich bestimmen:

D = ℝ

3) Nullstellen bestimmen:

f (x) = 0

2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x = 0

Ausklammern von

x :

x \cdot (2 x^{4}

–

4 x^{2} + 2) = 0

\Rightarrow x_{1} = 0

2 x^{4}

–

4 x^{2} + 2 = 0

Es handelt sich hier um eine biquadratische Gleichung.
(Zu erkennen daran, dass kein Term mit ungeradem Exponenten enthalten ist)

Substitution mit

t = x^{2} :

\Rightarrow 2 t^{2}

–

4 t + 2 = 0

Lösen mit der Mitternachtsformel:

\Rightarrow t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4} = 1

Resubstitution:

t = x^{2} = 1

\Rightarrow x_{2} = 1

und

x_{3} = - 1

Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen

- 1, 0

und 1

4) Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs:

lim_{x \to \infty} f (x) = \infty,

a = 2 > 0

lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty,

a = 2 > 0

5) Symmetrie zum Koordinatensystem:

f (- x) = 2 {(- x)}^{5} - 4 {(- x)}^{3} + 2 (- x) = - 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x

- f (x) = - (2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x) = - 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x

\Rightarrow f (- x) = - f (x)

f (- x)

ist gleich

- f (x)

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung

(0 | 0)

6) Monotonieverhalten:

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen

(i n

welchen Bereichen steigt der Graph der Funktion, in welchen Bereichen fällt die Funktion), betrachtet man die 1. Ableitung der Funktion.

Die 1. Ableitung der Funktion gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

f' (x) = 10 x^{4} - 12 x^{2} + 2

Zunächst werden die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmt (werden meist ohnehin für die Extrema benötigt).

f' (x) = 0

\Rightarrow 10 x^{4} - 12 x^{2} + 2 = 0

Es handelt sich um eine biquadratische Gleichung. (Zu erkennen daran, dass kein Term mit ungeradem Exponenten enthalten ist)

Substitution mit

t = x^{2} :

\Rightarrow 10 t^{2} - 12 t + 2 = 0

Lösen mit der Mitternachtsformel:

t_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{20}

\Rightarrow t_{1} = 1

\Rightarrow t_{2} = \frac{1}{5}

Resubstitution:

t_{1} = x^{2} = 1

\Rightarrow x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1

t_{2} = x^{2} = \frac{1}{5}

\Rightarrow x_{3} = \sqrt{\frac{1}{5}}

und

x_{4} = - \sqrt{\frac{1}{5}}

Damit sind die verschiedenen Monotoniebereiche der Funktion festgelegt.

Die Ableitungsfunktion kann also faktorisiert geschrieben werden in:

f' (x) = (x^{2} - 1) \cdot (x^{2} - \frac{1}{5})

Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt. Die beiden Faktoren entsprechen zwei nach oben geöffnete Parabeln.

Um herauszufinden, in welchen Bereichen

f' (x)

positives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren positiv oder beide negativ sein.

Die beiden quadratischen Funktionen haben außerhalb ihrer Schnittpunkte positive Funktionsterme und innerhalb ihrer Schnittpunkte negative Funktionswerte im Bereich.

Zahlenstrahl_positiv

Um herauszufinden, in welchen Bereichen

f' (x)

negatives Vorzeichen hat, müssen beide Faktoren unterschiedliches Vorzeichen haben.

Zahlenstrahl_negativ

Diese Grafik zeigt den Graph der 1. Ableitung:

KD_ganzrational_5Grades_Ableitung

f' (x) > 0

für

x \in] - \infty; - 1 [\cup] - \sqrt{\frac{1}{5}}; \sqrt{\frac{1}{5}} [\cup] 1, + \infty [

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f' (x) < 0

für

x \in] - 1; - \sqrt{\frac{1}{5}} [\cup] \sqrt{\frac{1}{5}}; 1 [

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

Eine gute Methode, herauszufinden, welches Vorzeichen die 1. Ableitung in einem Bereich hat, ist einen x-Wert aus dem Bereich in die 1. Ableitung einzusetzen.

7) Extrema /Terrassenpunkte bestimmen:

f' (x) = 0

Nach obiger Rechnung hat die Funktion Extrempunkte an den Stellen

x_{1} = 1, x_{2} = - 1, x_{3} = \sqrt{\frac{1}{5}}

und

x_{4} = - \sqrt{\frac{1}{5}}

Bei

x_{1} = 1

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach

+ \Rightarrow

(lokales) Minimum

Bei

x_{2} = - 1

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von

+

nach

- \Rightarrow

(lokales) Maximum

Bei

x_{3} = \sqrt{\frac{1}{5}}

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von

+

nach

- \Rightarrow

(lokales) Maximum

Bei

x_{4} = - \sqrt{\frac{1}{5}}

wechselt die Ableitung ihr Vorzeichen von - nach

+ \Rightarrow

(lokales) Minimum.

f (1) = 2 \cdot 1

–

4 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 0

\Rightarrow P (1 | 0)

Minimum

Wegen der Punktsymmetrie ist

f (- 1) = f (1) = 0

\Rightarrow Q (- 1 | 0)

Maximum

f (\sqrt{\frac{1}{5}}) = 2 \cdot {(\sqrt{\frac{1}{5}})}^{5}

–

4 \cdot {(\sqrt{\frac{1}{5}})}^{3} + 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{32}{25} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}} \approx 0,57

\Rightarrow R (\sqrt{\frac{1}{5}} | \frac{32}{0,57})

Maximum

Wegen der Punktsymmetrie ist

f (- \sqrt{\frac{1}{5}}) = - f (\sqrt{\frac{1}{5}}) \approx - 0,57

\Rightarrow R (- \sqrt{\frac{1}{5}} | - 0,57)

Minimum

Da die Funktion

f (x)

Extrempunkte an seinen Nullstellen besitzt berührt der Graph der Funktion die x-Achse in diesen Punkten.

KD_ganzrational_5Grades_Extrema300

8) Wendepunkte bestimmen:

f'' (x) = 0

\Rightarrow 40 x^{3} - 24 x = 0

Ausklammern von

x :

x \cdot (40 x^{2} - 24) = 0

\Rightarrow x_{1} = 0

40 x^{2} - 24 = 0

40 x^{2} = 24

\Rightarrow x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{24}{40}} = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}

f''' (x) = 120 x^{2} - 24

\Rightarrow f''' (x_{1}) = f''' (0) = - 24 \neq 0

Bei

x = 0

hat die Funktion ein Wendepunkt.

\Rightarrow f''' (x_{2}) = f''' (- \sqrt{\frac{3}{5}}) = 120 \cdot \frac{3}{5} - 24 = 48 \neq 0

Bei

x = - \sqrt{\frac{3}{5}}

hat die Funktion einen zweiten Wendepunkt.

Wegen der Punktsymmetrie hat der Graph der Funktion einen dritten Wendepunkt an der Stelle

x = \sqrt{\frac{3}{5}}

\Rightarrow f''' (0) = - 24 < 0

Bei

x = 0

wechselt die Funktion von einer Linkskurve in eine Rechtskurve.

\Rightarrow f''' (\pm \sqrt{\frac{3}{5}}) = 48 > 0

Bei

x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}

wechselt die Funktion von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

f (0) = 0

\Rightarrow W_{1} (0,0)

Wendepunkt

f (\sqrt{\frac{3}{5}}) = 2 \cdot {(\sqrt{\frac{3}{5}})}^{5} - 4 \cdot {(\sqrt{\frac{3}{5}})}^{3} + 2 \cdot (\sqrt{\frac{3}{5}}) = 2 \cdot \frac{6}{25} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} - 4 \cdot \frac{3}{5} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} + 2 \cdot (\sqrt{\frac{3}{5}}) = \sqrt{\frac{3}{5}} \cdot (\frac{12}{25} - \frac{12}{5} + 2) = \frac{2}{25} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \approx 0,77

Wegen der Punktsymmetrie gilt:

f (- \sqrt{\frac{3}{5}}) = - \frac{2}{25} \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} \approx - 0,77

\Rightarrow W_{2} (\sqrt{\frac{3}{5}} | 0,77)

und

W_{3} (- \sqrt{\frac{3}{5}} | - 0,77)

Wendepunkte

KD_ganzrational_5Grades_Wendepunkte300

9) Zeichnung:

KD_ganzrational_5Grades_Graph

595671

594780

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