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Länge einer Bernoullikette für P(X=0) < 10 %

Schüler Musikschule, 10. Klassenstufe

Tags: Bernoulli-Kette, Kombinatorik, Länge einer Bernoullikette, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

 
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HoLyD3AtH

HoLyD3AtH aktiv_icon

08:40 Uhr, 11.02.2012

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Guten Morgen!

Ich habe gestern meine letzte Matheklausur (4.Semester) geschrieben, Oberthema war Stochastik. Lief auch bis auf ein paar Kleinigkeiten gut, nur eine Aufgabe lässt mich seitdem nicht los.

Sinngemäß lautete sie:

In einem Karton haben 98% der Schrauben ein sehr gutes Profil, die anderen 2% ein schlechteres.
Wie viele Schrauben darf man dem Karton höchstens entnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit P(X=0), also 0 Schrauben mit schlechterem Profil weniger als 10% beträgt.
In der vorherigen Teilaufgabe war noch gegeben, dass die Grundgesamtheit der Schrauben sehr groß ist, und der Stichprobenumfang im Verhältnis sehr klein ist, es sich also um eine Bernoulli-Kette handelt.

Ich habe angefangen mit einem Lösungsweg, bei dem ich die Schraube mit schlechterem Profil als Treffer gewertet habe. Das sah dann in etwa so aus:
B(n;0,02;0)=n über 0(0,02)0(0,98)n<10%
führt dann schlussendlich zu ln(0,1)ln(0.98)
und n>113,97

Dann war ich etwas irritiert, weil ja gefragt war wie groß n HÖCHSTENS sein darf, was irgednwie nicht so recht zu meinem Endergebnis passen wollte, nachdem n größer gleich 113,97 sein sollte. Und ja, ich habe die Rechenregeln beachtet beim teilen durch den Logarithmus von 0,98 (negativ!)

Zweiter Ansatz war dann, es mit dem Gegenereignis zu probieren:
B(n;0,98;n)=n über n0,98n0,020>90%
als Endergebnis kam dabei 5,22 raus, umgenau zu sein: n<5,2152

Hier stimmte also das kleinergleich - Zeichen. Außerdem erscheint es mir auch instinktiv gesehen logischer. Wenn ich schon beim ersten Zug eine 2 Prozentige Wahrscheinlichkeit für eine "schlechte" Schraube habe, dürfte die Zugzahl für 10% gering sein.
Nun beschäftigt mich die Frage, was ich mit meinem ersten Ansatz ausgerechnet habe, denn ich komme einfach nicht drauf.

Wäre lieb wenn mich jemand aufklären könnte.







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HoLyD3AtH

HoLyD3AtH aktiv_icon

09:20 Uhr, 11.02.2012

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So ich hab nochmal ein bisschen überlegt und mir entsprechende Funktion mal näher angesehen, also 0,98n0,020=0,1
Das was davor steht kann man vernachlässigen weil n über n das gleiche wie n über 0 ist, nämlich 1...
So wenn ich diese Gleichung so betrachte, fällt auf, dass die "0,02^0" in jedem falle feststeht, also nur die 0,98n variabel ist, und damit überhaupt nur sinnvoll zu untersuchen.
Nun fällt mir auch der Fehler dieser Gleichung auf, denn so wie sie dasteht, betrachte ich ja die Wahrscheinlichkeit n mal in einer Reihe eine bessere Schraube zu ziehen.
Und die ist nach 114 Zügen eben 0,1. Nur wollte ich das ja gar nicht wissen.
Also stimmt mein Zweiter Ansatz mit 0,98n0,020=0,9 vermutlich, da ich damit ja betrachte nach wie vielen Zügen die Wahrscheinlichkeit für n mal in einer Reihe gute Schrauben =90% ist, und damit im Umkehrschluss die Wahrscheinlichkeit für eine schlechte unter 10% bleibt.
Auch wenn ich jetzt glaube, dass ich des Rätsels Lösung gefunden habe, bitte ich nochmal um eine zweite Meinung ;-).
Ich habe schon mit sehr vielen Leuten gesprochen, die als Lösung 114 oder 113 raushaben, konnte aber niemandem mit Sicherheit erklären ob und warum das falsch ist.
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nieaufgeber

nieaufgeber aktiv_icon

11:14 Uhr, 11.02.2012

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bei A) Die Wahrscheinlichkeit, dass man mehr als 0 defekte Schrauben hat, soll weniger als 10% betragen:

P ( X > 0 ) < 0 , 1 1 P ( X = 0 ) < 0 , 1 P ( X = 0 ) > 0 , 9

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Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

12:38 Uhr, 11.02.2012

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Hallo,

wie nieaufgeber auf P(X>0)<0,1 kommt, kann ich nicht nachvollziehen. In der Aufgabenstellung steht doch eindeutig da P(X=0)<0,1.
Ich denke, daß die Verwirrung durch den etwas unglücklich formulierten Aufgabentext hervorgerufen wird. X=0 bedeutet doch "keine Schraube mit schlechtem Profil" und wenn ich keine Schraube mit schlechtem Profil in der Stichprobe habe, müssen alle Schrauben der Stichprobe zwangsläufig ein gutes Profil haben. Die beiden Ereignisse "keine Schraube mit schlechtem Profil" und "alle Schrauben mit gutem Profil" treten immer gleichzeitig ein und haben deshalb die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Wenn ich nur eine Schraube ziehe, dann habe ich mit 98% Wahrscheinlichkeit eine gute Schraube und damit auch mit 98% Wahrscheinlichkeit keine schlechte Schraube. Bei zwei Schrauben ist die Wahrscheinlichkeit für keine schlechte Schraube 96,04% usw. Bei 114 gezogenen Schrauben schließlich sinkt die Wahrscheinlichkeit für keine schlechte Schraube mit 9,99% das erste Mal unter 10%. Steigt n noch weiter, wird die Wahrscheinlichkeit für keine schlechte Schraube immer noch kleiner, bleibt ab n=114 also unter 10%,d.h., für n114 ist P(X=0)<0,1. Ich denke, daß mit "höchstens" im Aufgabentext die kleinste Zahl n, also n=114, gemeint ist für die P(X=0)<0,1 ist, also das Minimum aller n, für die P(X=0)<0,1 gilt. Ich muß eine bestimmte Mindestzahl von Schrauben ziehen, um unter 10% zu kommen (da paßt dann das Größer-Zeichen in n>113,97) und davon nehme ich die kleinste Zahl.

Viele Grüße
Yokozuna

HoLyD3AtH

HoLyD3AtH aktiv_icon

14:04 Uhr, 11.02.2012

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Vielen Dank für die Antwort!

Jetzt habe ich nochmal nachgedacht und komme zu dem Schluss, dass die Lösung der Aufgabe wie sie gestellt (aber sicher nicht gemeint) ist unendlich sein muss.
Je öfter ich ziehe, desto unwahscrehinlicher wird es ja dass keine Schraube dabei ist (also P(X=0)) und wenn ich jetzt unendlich oft ziehe, ist es unendlich unwahrscheinlich. Da ja nach der höchstmöglichen Zugzahl gefragt war für P<10% ist meine Lösung nun unendlich und ich bin unendlich wütend auf den Lehrer, der diese Aufgabe in die Klausur gepackt hat, weil sie so wie sie ist nicht anständig lösbar ist.
Ich vermute man hat sich vertran mit einem "höchstens" oder hat das größergleich zu nem kleinergleich vertauscht...

Denn so wie deine logische Antwort ist (die vielleicht auch gesucht wurde) hätte im Aufgabentext doch nach den MINDESTENS notwendigen Zügen gefragt werden müssen....

Antwort
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

16:15 Uhr, 11.02.2012

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Ja, da gebe ich Dir vollkommen recht. Meiner Meinung nach hätte hier der Begriff "mindestens" besser gepaßt (vorausgesetzt, das meine Interpretation richtig ist). Leider ist das gerade im Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik gar nicht so selten, daß die Aufgabenstellung nicht deutlich genug ist. Wenn eine Aufgabe mehr als eine Interpretation zuläßt, dann würde ich bei der Lösung meine eigene Interpretation dazu schreiben. Vielleicht kann man dann manchmal noch ein paar Punkte retten, wenn man die Aufgabe zwar anders interpretiert hat wie der Aufgabensteller, aber ansonsten richtig durchgerechnet hat.

Wenn Du weißt, wie Dein Lehrer die Aufgabe interpretiert haben wollte, würde ich mich sehr freuen, wenn Du mir eine kurze Nachricht zukommen lassen könntest eben auch im Hinblick darauf, anderen Schülern bei so ähnlichen Aufgaben besser helfen zu können.

Viele Grüße
Yokozuna


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