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Lagrange

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Tags: Lagrange, Optimierung

tin88 aktiv_icon

17:53 Uhr, 28.07.2014

Hallo!
Meine Nachhilfeschülerin muss LagrangeProbleme lösen, das hab ich allerdings selbst nie gemacht und mir fehlt auch eine ordentliche Theorie dazu. Kann mir jemand sagen, obr das, was ich mache richtig ist?

Geg: max

f (x, y) = x^{2} y^{2}

x^{2} + y^{2} = 1

Zuerst ist zu beweisen, dass dieses Problem überhaupt eine Lösung hat: Da Polynome stetig sind, hat das Problem eine Lösung (oder ist dafür noch was anderes zu beachten?

Dann das Problem zu lösen:

L (x, y) = f (x, y) - λ (g (x, y) - c)

somit

L (x, y) = x^{2} y^{2} - λ (x^{2} + y^{2} - 1)

danach werden die Ableitungen nach x und y berechnet und diese =0 gesetzt:
I.

\frac{δ L (x, y)}{δ x} = 2 x y^{2} - 2 x λ = 0

2 x (y^{2} - λ) = 0

mit 1.)

x = 0

und 2.)

y^{2} = λ

II.

\frac{δ L (x, y)}{δ x} = 2 y x^{2} - 2 y λ = 0

2 y (x^{2} - λ) = 0

mit 1.)

y = 0

und 2.)

x^{2} = λ

III.

x^{2} + y^{2} = 1

Daraus erhalte ich folgende Lösungstripel:
1.)

x = 0

y^{2} = 1

1.a) (0,-1,0)
1.b) (0,1,0)
3.)

y = 0

x^{2} = 1

3.a) (-1,0,0)
3.b) (1,0,0)
aus 2.) und 4.) erhält man nach meinen Berechnungen die folgenden Tripel:

(\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2})

(\sqrt{\frac{1}{2}}, - \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2})

(- \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2})

(- \sqrt{\frac{1}{2}}, - \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2})

Doch nun weiß ich nicht mehr weiter, welches dieser Tripel ist nun die Lösung meines Problems?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:44 Uhr, 29.07.2014

Hallo,

"oder ist dafür noch was anderes zu beachten?"

Die Menge, die durch

x^{2} + y^{2} = 1

beschreiben wird - also ein Kreis - ist abgeschlossen und beschränkt (also kompakt). Daher besitzt die stetige Funktion

f

auf dieser Menge ein Maximum und ein Minimum.

Mit der Lagrange-Methode werde alle Kandidaten für ein Max oder Min gefunden. Durch Berechnen der Funktionswerte findet man heraus, welche Max oder Min (jeweils absolut) sind.

Gruß pwm

tin88 aktiv_icon

11:01 Uhr, 29.07.2014

Danke!
Das heißt ich berechne den Funktionswert f(x,y) aller Tripel. Aber daraus kann ich doch nicht ablesen ob es sich tatsächlich um Minima bzw. Maxima handelt oder?

Ich hab gelesen, dass ich die Determinante der geränderten Matrix berechnen muss, um zu entscheiden um welche Extrema es sich handelt.

H_{L} (x, y, λ) = (\begin{array}{rcl} 0 & \frac{δ g}{δ x} & \frac{δ g}{δ y} \\ \frac{δ g}{δ x} & \frac{δ^{2} L}{δ x^{2}} & \frac{δ^{2} L}{δ x y} \\ \frac{δ g}{δ y} & \frac{δ^{2} L}{δ y x} & \frac{δ^{2} L}{δ y^{2}} \end{array})

Ist die Determinante negativ, so handelt es sich um ein Minimum, ist sie positiv um ein Maximum. Ist sie Null so kann ich keine Aussage machen.

die Matrix sieht in meinem Fall so aus:

H_{L} (x, y, λ) = (\begin{array}{rcl} 0 & 2 x & 2 y \\ 2 x & 2 y^{2} - 2 λ & 4 y x \\ 2 y & 4 y x & 2 x^{2} - 2 λ \end{array})

Interessant sind nur die Tripel von 2. und 4.

d e t (H_{L} (\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}) = 8

d e t (H_{L} (- \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}) = 8

d e t (H_{L} (\sqrt{\frac{1}{2}}, - \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}) = 0

d e t (H_{L} (- \sqrt{\frac{1}{2}}, - \sqrt{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}) = 8

Damit weiß ich aber immer noch nicht welches jetzt das tatsächliche Maximum ist da der Funktionswert für alle gleich ist.

pwmeyer aktiv_icon

11:08 Uhr, 29.07.2014

Hallo,

"Aber daraus kann ich doch nicht ablesen ob es sich tatsächlich um Minima bzw. Maxima handelt oder?"

Doch, alle Maxima befinden sich unter den endlich vielen Punkten, die Du berechnet hast. Der PUnkt (oder die PUnkte) , wo der Funktionswert am größten ist, sind das Maximum.

Der Test mit der geränderten Matrix ist eher unüblich - du solltest Deine Nachhilfeschülerin fragen, ob das überhaupt besprochen wurde.

Gruß pwm

tin88 aktiv_icon

11:24 Uhr, 29.07.2014

Nein ich glaub ehrlich gesagt das haben sie nicht gemacht. Ich dachte mir nur es können ja nicht alle vier Punkte Maxima sein, ich erhalte ja für alle 4 den Funktionswert

\frac{1}{4}

.
Aber sind dann tatsächlich alle vier Maxima? und das wars dann?
Danke für deine Geduld!

pwmeyer aktiv_icon

11:58 Uhr, 29.07.2014

Hallo,

ja es gibt 4 Maxima.

Du kannst das auch checken, wenn Du den Kreis parametrisierst:

x = cos (t), y = sin (t)

. Dann ist

f = x^{2} \cdot y^{2} = {cos (t)}^{2} \cdot {sin (t)}^{2} = \frac{1}{8} \cdot (1 - cos (4 \cdot t))

Gruß pwm

tin88 aktiv_icon

17:15 Uhr, 29.07.2014

Danke! Du hast mir wirklich gut weitergeholfen!

Und jetzt hätte ich noch eine Frage:
Es bleibt noch zu Beantworten was passiert, wenn man 1 durch 1,1 ersetzt und was annähernd die Veränderung im Extremwert ist.

Also ich hab mir überlegt dass der Extremwert größer werden muss, konkret erhalte ich ja als Funktionswert

{\frac{1, 1}{2}}^{2}

ABer stimmt das dann auch allgemein?

lg

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