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Lang!: Probleme bei trigonometrischen Gleichungen

Schüler

Tags: Algebra, Cosinus, Gleichung., Sinus, Tangens, Trigonometrie

 
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RDNRofficial

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20:43 Uhr, 26.05.2017

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Hallo Leute,

ich melde mich jetzt heute nochmal, weil das gestern (eher heute) gut geklappt hat. Wir haben von unserem Lehrer eine dicke Sammlung an Übungen bekommen, die wir für die Klassenarbeit durchmachen sollten. Dabei habe ich jetzt 3 Aufgaben, bei denen ich zu viele Ergebnisse bekomme und 6, die ich nicht verstehe, bzw. nicht draufkomme. Zur Übersicht trenne ich einfach mal Ansatz und gar nicht verstehen in 2 Fragen.

Aufgaben mit zu vielen Ergebnissen:

1)2sin(x)-3cos(x)=0
Hier habe ich cos(x) zu sin(x) umgeformt und dann ausgerechnet, bis ich sin(x)=±913 herausbekomme. Das Problem ist, dass es nur 2 Lösungen geben soll und nicht 4.



2)3sin(x)-2tan(x)=0

Umgeformt auf: 3sin(x)=2tan(x)
Dann: 3sin(x)=2sin(x)cos(x)
Dann: 3=2cos(x)→cos(x)=23
Hierbei bekomme ich allerdings nur die 2 krummen Lösungen und nicht die weiteren 30,π,2π.



3)3sin(x)-cos(x)=0
Hier habe ich cos(x) durch 1-sin2(x) ersetzt und komme dann auf sin(x)=±110
Auch hier habe ich dann 4 Lösungen, wobei es nur 2 geben darf.



Ich hoffe, dass ihr damit etwas anfangen könnt. Ich habe mich kürzer gehalten, weil es doch so viele Aufgaben sind. Ich habe außerdem kein Problem damit, wenn jemand einfach den Lösungsweg beschreibt oder angibt, ich kann von fertigen Aufgaben ganz gut lernen, es ist nicht so, dass ich einfach die Lösung benötige. Anstöße zur Lösung sind aber gerne willkommen! :-)

Vielen Dank an alle Helfer!
Tizian
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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tobit

tobit aktiv_icon

21:42 Uhr, 26.05.2017

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Hallo Tizian!


Bei 1) und 3) ist es natürlich schwer, deine Fehler genau zu benennen, ohne deine Rechnung zu sehen.

Vermutlich hast du irgendwo beide Seiten einer Gleichung quadriert.
Das ist keine Äquivalenzumformung; es können Lösungen "hinzugewonnnen" werden.

Eine Möglichkeit: Führe immer, wenn du unterwegs quadriert hast, am Ende eine Probe sämtlicher Ergebnisse durch.


Bei 2) hast du durch sin(x) dividiert.
Das ist nur für Zahlen x mit sin(x)≠0 erlaubt.

Und siehe da: Du hast die Lösungen x mit sin(x)=0 "verloren".

Einfachste Abhilfe: Bringe alle Terme auf eine Seite, klammere sin(x) aus und verwende den Satz vom Nullprodukt.


Auch die Multiplikation mit cos(x) auf beiden Seiten ist nur für solche Zahlen x eine Äquivalenzumformung, für die cos(x)≠0 gilt.
Wenn du Pech gehabt hättest, hättest du hier Lösungen "hinzugewinnen" können.

Abhilfe z.B.: Mache für alle erhaltenen Werte die Probe an der Ausgangsgleichung.


Man versteht unter einer Lösung der Gleichung nur solche Zahlen, für die die Ausgangsgleichung Sinn ergibt.
Da der tan nicht überall definiert ist, muss für alle als "Lösungen" erhaltenen Werte x geprüft werden, ob überhaupt tan(x) definiert ist.


Viele Grüße
Tobias
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