Laplace Transformierte, Zeitverläufe

Hallo,

Ich habe eine Schaltung (betrachte stationären Zustand) gegeben. Betätige ich ein Ventil, dann bekomme ich eine Schaltung, die mit folgender DGL beschrieben werden kann:

${\displaystyle {\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Die Lösung lautet:

${\displaystyle \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(1-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}})+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0){\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$für 0<t<T/2

Okay, dass kommt auch hin. Der Strom steigt exponentiell von einem Anfangswert (Strom beginnt im negativen) auf einen Endwert (im positiven).

Nun habe ich ein mathematisches Problem (glaube ich) beim Folgezustand. Das Ventil V ist wieder geschloßen. Ich bekomme die DGL:

${\displaystyle {-\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wenn ich die DGL wieder löse bekomme ich:

${\displaystyle \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\frac{{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(1-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}})+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2){\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$für T/2<t<T.

In der Lösung steht:

${\displaystyle \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-\frac{{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(1-{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}})+\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2){\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\frac{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}/2}{\mathrm{\tau <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$

Wie komme ich da mathematisch drauf? Wenn ich mir die Funktion hinzeichne, dann sehe ich, dass die da erst beginnt, klar. Aber mathematisch? Wo fließt diese Verschiebung ein, d.h. wo habe ich sie mißachtet?

Vielleicht kann mir ja wer helfen, auch wenn die Aufgabe eher technischer Natur ist.

Danke

Änderung:

Ich habe eben noch schnell den Spannungs- und Stromverlauf an der Last gegeben. Dieser soll durch die DGL Lösung entstehen.

Kann man diese Verschiebung überhaupt aus den Gleichungen bekommen oder muss man diese mit dem Wissen machen wie die Verläufe aussehen?

OKay. Aber komme dann immer noch nicht da hin. Habe ich versucht. Kannst mal zeigen, was du meinst?