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Lichtstrahl auf Punkt im Raum

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie

todesbreit aktiv_icon

08:04 Uhr, 18.11.2015

Hallo Community :-)

ich habe eine Aufgabe mit der ich nicht zurecht komme und für die ich keinen Lösungsansatz habe. Konkret soll ich, ausgehend von einem allgemeinen Punkt(p1/p2/p3) auf den ein Lichtstrahl in Form eines allgemeinen Vektors

(v 1, v 2, v 3)

fällt, die Koordinaten der Schattenpunkte auf den drei Koordinatenebenen ermitteln. Dazu noch untersuchen, wie man "jeden der Projektionsvorgänge" (?!) durch Multiplikation mit je einer Matrix beschreiben kann.

Kann mir jemand dabei helfen und einen Lösungsweg skizzieren? Wie gesagt, ich habe leider keinen Ansatz.

Lieben Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

14:35 Uhr, 18.11.2015

Hallo,

wenn der Punkt

P (\begin{matrix} p 1 \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

von einem Lichtstrahl getroffen wird, dessen Richtung

(\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

ist, dann liegt jeder Punkt

R = (\begin{matrix} p 1 \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + λ \cdot v_{1} \\ p_{2} + λ \cdot v_{2} \\ p_{3} + λ \cdot v_{3} \end{matrix})

mit

λ \in ℝ^{+}

im Schatten. Diese (Schatten-) Punkte bilden also einen Strahl auf der Geraden

g : \vec{x} = (\begin{matrix} p 1 \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

. Ermittle also die Punkte, in denen diese Gerade die Koordinatenebenen schneidet.

D . h

. Löse die Gleichungssysteme:

x-y-Ebene:

p_{3} + t \cdot v_{3} = 0

x-z-Ebene:

p_{2} + t \cdot v_{2} = 0

y-z-Ebene:

p_{1} + t \cdot v_{1} = 0

Die drei Lösungen (allgemein für

k \in {1,2,3})

lauten:

Fall

1 : p_{k} = 0

Der Punkt selbst liegt in dieser Ebene. Dann allerdings liegt nicht der Schatten in er Koordinatenebene.

Fall

2 : p_{k} \neq 0

und

v_{k} = 0

Auf diese Ebene fällt kein Schatten.

Fall

3 : p_{k} \neq 0

und

v_{k} \neq 0

t = - \frac{p_{k}}{v_{k}}

Fall

3.1 : t < 0

Die Gerade

g

schneidet zwar diese Ebene, allerdings nicht auf der Schattenseite!

Fall

3.2 : t > 0

Der Schattenpunkt

S

dieser Ebene ergibt sich, indem man

t

in die Geradengleichung einsetzt.

Damit ergibt sich für die einzelnen Ebenen:

x-y-Ebene:

t = - \frac{p_{3}}{v_{3}} \Rightarrow S = (\begin{matrix} p_{1} - \frac{p_{3}}{v_{3}} \cdot v_{1} \\ p_{2} - \frac{p_{3}}{v_{3}} \cdot v_{2} \\ 0 \end{matrix})

x-z-Ebene:

t = - \frac{p_{2}}{v_{2}} \Rightarrow S = (\begin{matrix} p_{1} - \frac{p_{2}}{v_{2}} \cdot v_{1} \\ 0 \\ p_{3} - \frac{p_{2}}{v_{2}} \cdot v_{3} \end{matrix})

y-z-Ebene:

t = - \frac{p_{1}}{v_{1}} \Rightarrow S = (\begin{matrix} 0 \\ p_{2} - \frac{p_{1}}{v_{1}} \cdot v_{2} \\ p_{3} - \frac{p_{1}}{v_{1}} \cdot v_{3} \end{matrix})

Das in Matrix-Schreibweise:

x-y-Ebene:

S = (\begin{matrix} p_{1} - \frac{p_{3}}{v_{3}} \cdot v_{1} \\ p_{2} - \frac{p_{3}}{v_{3}} \cdot v_{2} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{v_{1}}{v_{3}} \\ 0 & 1 & - \frac{v_{2}}{v_{3}} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

x-z-Ebene:

S = (\begin{matrix} p_{1} - \frac{p_{2}}{v_{2}} \cdot v_{1} \\ 0 \\ p_{3} - \frac{p_{2}}{v_{2}} \cdot v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - \frac{v_{1}}{v_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{v_{3}}{v_{2}} & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

y-z-Ebene:

S = (\begin{matrix} 0 \\ p_{2} - \frac{p_{1}}{v_{1}} \cdot v_{2} \\ p_{3} - \frac{p_{1}}{v_{1}} \cdot v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - \frac{v_{2}}{v_{1}} & 1 & 0 \\ - \frac{v_{3}}{v_{1}} & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix})

Für jede der Projektionen gilt, dass

- \frac{p_{k}}{v_{k}}

positiv sein muss. Damit kann man anhand der Koordinaten des Punktes und des Vektors schon eine Aussage darüber treffen, ob eine bestimmte Ebene auch einen Schattenpunkt hat:

- \frac{p_{k}}{v_{k}} > 0

Fall

1 : v_{k} > 0 \Rightarrow - p_{k} > 0 \Rightarrow p_{k} < 0

Fall

2 : y_{k} < 0 \Rightarrow

-pk

< 0 \Rightarrow p_{k} > 0

Mit anderen Worten: Der Punkt und der Vektor müssen für die Existenz eines Schattenpunktes in einer Ebene in den zugehörigen Koordinaten unterschiedliche Vorzeichen haben!

Bsp.:

1)

P (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

und

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix})

hat in der zweiten Koordinate (y-Koordinate) keine unterschiedlichen Vorzeichen, deshalb gibt es keinen Schattenpunkt in der x-z-Ebene

2)

P (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

und

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

hat auf der Geraden in der zweiten Koordinate (y-Koordinate) immer den Wert

- 2,

deshalb gibt es keinen Schattenpunkt in der x-z-Ebene.

3)

P (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

und

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 3 \end{matrix}) P

liegt selbst in der x-z-Ebene , deshalb gibt es keinen Schattenpunkt in der x-z-Ebene

4)

P (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})

und

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})

hat drei Schattenpunkte:

x-y-Ebene:

S = (\begin{matrix} 1 - \frac{3}{- 3} \cdot (- 1) \\ - 2 - \frac{3}{- 3} \cdot 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 1 \\ - 2 + 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{- 3} \\ 0 & 1 & - \frac{2}{- 3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

x-z-Ebene:

S = (\begin{matrix} 1 - \frac{- 2}{2} \cdot (- 1) \\ 0 \\ 3 - \frac{- 2}{2} \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 1 \\ 0 \\ 3 - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 1 & - \frac{- 1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{- 3}{2} & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

y-z-Ebene:

S = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 - \frac{1}{- 1} \cdot 2 \\ 3 - \frac{1}{- 1} \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 + 2 \\ 3 + 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ - \frac{2}{- 1} & 1 & 0 \\ - \frac{- 3}{- 1} & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

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