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Limiet berechnen bei 0/0

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Goniometrische Gleichungen, Grenzwert

Noorilala aktiv_icon

23:39 Uhr, 24.04.2014

Hallo leute,

Ich kämpfe im moment mit dieser aufgabe. Ich habe schon viel ausprobiert,aber komme leider nicht drauf...egal was ich mache :-D):

lim (x \to \frac{π}{4}) \frac{1 - sin (2 x)}{(cos (2 x)) \cdot (cos (x) - sin (x))}

Die lösung ist

\Rightarrow 1

Vielen vielen Dank schonmalfür eure Hilfe!;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Loewe1

23:48 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

Kennst Du die Regel von

L'

Hospital ?

Du hast einen Ausdruck von

\frac{o}{o}

Es ist der Zähler und Nenner getrennt jeweils abzuleiten.

Die Lösung ist aber

\frac{1}{\sqrt{2}}

Respon

02:04 Uhr, 25.04.2014

Der Grenzwert ist tatsächlich

\frac{1}{\sqrt{2}}

.
Auch "direktes" Umformen führt ans Ziel, allerdings unter voller Ausnützung aller trigonometrischen Umformungen.
Hier die Kurzform der Umformungen

1 - sin (2 \cdot x) = 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)

cos (2 \cdot x) = 2 \cdot sin (\frac{π}{4} - x) \cdot cos (\frac{π}{4} - x)

cos (x) - sin (x) = \sqrt{2} \cdot sin (\frac{π}{4} - x)

\Rightarrow \frac{1 - sin (2 \cdot x)}{cos (2 \cdot x) \cdot [cos (x) - sin (x)]} = \frac{2 \cdot {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)}{2 \cdot sin (\frac{π}{4} - x) \cdot cos (\frac{π}{4} - x) \cdot \sqrt{2} \cdot sin (\frac{π}{4} - x) \cdot cos (\frac{π}{4} - x)} =

= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot {cos}^{2} (\frac{π}{4} - x)}

\Rightarrow

lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - sin (2 \cdot x)}{cos (2 \cdot x) \cdot [cos (x) - sin (x)]} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{2} \cdot {cos}^{2} (\frac{π}{4} - x)} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Loewe1

08:52 Uhr, 25.04.2014

Hallo

Hier nun mein Weg:

:-)

Noorilala aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.04.2014

vielen Dank für die schnellen Antworten!:-) Von L'hospital hatte ich gehört, aber ich bin gar nicht auf die idee gekommen die Regel gleich zwei mal zu verwenden...echt super.

Ich hab nur ein Problem bei Schritt 3. Bist du auf den Nenner mit Hilfe der Produktregel gekommen? Den Zähler

- 2 cos (2 x)

bekomme ich beim ableiten auch hin, nur den Nenner noch nicht so ganz.

Noorilala aktiv_icon

13:42 Uhr, 25.04.2014

Danke dir auch Respon!! Ab den Umformungen kann ich alles klasse nachvollziehen. Nur auf die Umformungen selber komme ich leider nicht ganz. Wie sieht die lange Version aus? :-D)

Respon

13:56 Uhr, 25.04.2014

Die Umformungen zeigen wäre etwas Schreibarbeit.
Da

x \to \frac{π}{4}

habe ich mich auf diesen Wert konzentriert.

z . B

cos (2 \cdot x) =

???

cos (2 \cdot x) = sin (\frac{π}{2} - 2 \cdot x) = sin [2 \cdot (\frac{π}{4} - x)] = 2 \cdot sin (\frac{π}{4} - x) \cdot cos (\frac{π}{4} - x)

1 - sin (2 \cdot x) =

???

1 - sin (2 \cdot x) = 1 - cos (\frac{π}{2} - 2 \cdot x) = 1 - cos [2 \cdot (\frac{π}{4} - x)] = 1 - [{cos}^{2} (\frac{π}{4} - x) - {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)]

1 = {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x) + {cos}^{2} (\frac{π}{4} - x) \Rightarrow

1 - [{cos}^{2} (\frac{π}{4} - x) - {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)] = {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x) + {cos}^{2} (\frac{π}{4} - x) - [{cos}^{2} (\frac{π}{4} - x) - {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)] = 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{π}{4} - x)

Respon

14:14 Uhr, 25.04.2014

Und die letzte Umformung

. .

cos (x) - sin (x) =

???

sin (\frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

\Rightarrow

cos (x) - sin (x) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos (x) - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sin (x) = \sqrt{2} \cdot [\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cos (x) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot sin (x)] =

= \sqrt{2} \cdot [sin (\frac{π}{4}) \cdot cos (x) - cos (\frac{π}{4}) \cdot sin (x)] = \sqrt{2} \cdot sin (\frac{π}{4} - x)

Ist natürlich eine mathematische Spielerei, aber ganz interessant

. .

.
( Ähnliches läßt sich bei fast allen trigonometrischen

lim -

Überlegungen durchführen. Falls der Grenzwert existiert. )

Loewe1

12:01 Uhr, 26.04.2014

Hallo

Nun zur Beantwortung Deiner Frage:

Ich hab nur ein Problem bei Schritt 3. Bist du auf den Nenner mit Hilfe der Produktregel gekommen? nur den Nenner noch nicht so ganz.

für

cos (2 x) \cdot cos (x) :

Es gilt allgemein:

cos a \cdot cos b = \frac{1}{2} (cos (a - b) + cos (a + b))

Daraus folgt:

cos (2 x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} (cos (x) + cos (3 x))

analog:

cos (2 x) \cdot sin (x) :

hier gilt:

cos a \cdot sin b = \frac{1}{2} (sin (a + b) - sin (a - b))

also:

\frac{1}{2} (sin (3 x) - sin (x))

Empfehlung : Immer schauen , ob vor dem Ableiten etwas zusammengefasst werden kann.

:-)

Noorilala aktiv_icon

18:27 Uhr, 27.04.2014

Frage bewältigt! Vielen Dank euch! ;-)

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