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Liminf

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Benezoom

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21:05 Uhr, 07.12.2016

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Hallo Leute, ich bitte um schnelle Antwort!

wir haben folgende Definition für den liminf: liminf(an) für n->unendlich = lim(inf{ak:k>=n}) für n unendlich

Nun soll ich beweisen, dass liminf(an) ein Häufungswert von an ist. Kann man dies so machen wie folgt?

Angenommen liminf(an) ist kein Häufungswert, dann gibt es keine Teilfolge von an, die gegen liminf(an) konvergiert. Aufgrund der Definition des liminf(an) gilt, dass an>= liminf(an). Weil keine Teilfolge gegen liminf(an) konvergiert, kann es höchstens endlich viele n´s geben, sodass an=liminf(an) gilt. Da es nur endlich viele sind, kann man diese n´s der Größe nach ordnen. Sei nmax das größte davon, dann gilt für alls n>=N=nmax+1, dass an>liminf(an) ist. Daraus folgt wiederum, da ab diesem N der Abstand jeder Teilfolge ε ist, dass für alle nN an>liminf(an) +ε2 gilt. Dies ist jedoch ein Widerspruch, da liminf(an) = lim(inf{ak:k>=n}) gilt und somit der liminf(an) "im Unendlichen" die größte untere Schranke ist.

Wenn nicht gebt mir doch bitte einen Tipp..
Ich denke nämlich da ist iwas faul und dass ich das zu Beweisende in meinem Beweis verwende..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Benezoom

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21:53 Uhr, 07.12.2016

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Hat denn keiner eine Idee?
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DrBoogie

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22:06 Uhr, 07.12.2016

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Du machst es von der Idee her richtig, aber mit einigen Ungenauigkeiten.

Z.B. das stimmt nicht:
"Aufgrund der Definition des liminf(an) gilt, dass an>= liminf(an)."

Es kann sogar so sein, dass an<liminf(an) für alle n. Z.B. an=1-1/n.

Du kannst es so machen:
angenommen, liminf(an) ist kein Häufungspunkt. Daraus folgt, dass ein ε>0 existiert,
so dass in (liminf(an)-ε,liminf(an)+ε) nur endlich viele an liegen.
Sei N der maximale solche Index n. Dann liegt keiner von an mit n>N in (liminf(an)-ε,liminf(an)+ε). Daraus folgt, dass inf{ak:kn} für kein n>N in (liminf(an)-ε,liminf(an)+ε) liegt. Damit kann inf{ak:kn} nicht gegen liminf(an) konvergieren. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch war.
Benezoom

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22:55 Uhr, 07.12.2016

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Ja stimmt, is mir dann auch aufgefallen.
Das klingt alles super logisch, Danke :-)

Aber eine Frage habe ich noch. Dass an > liminf(an) -Epsilon und an<limsup(an) + Epsilon für alle Epsilon >0 ab einem N ist, soll ich im nächsten Aufgabenteil noch zeigen.
Ich weiß nicht, ob ich das jetzt dann schon verwenden darf oder?

Außer ich dreh einfach die Aufgabenteile um....:-D)
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:13 Uhr, 08.12.2016

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"Ich weiß nicht, ob ich das jetzt dann schon verwenden darf oder?"

Ich verwende das nirgendwo. Lies bitte noch mal genauer. ;-)
Frage beantwortet
Benezoom

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16:46 Uhr, 09.12.2016

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Ok du hast recht. Danke für die Hilfe:-)