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Linear abhängig?

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Tags: Lineare Algebra

 
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anonymous

anonymous

09:18 Uhr, 22.12.2005

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Ich hab immer noch keinen Plan, hab echt keine Ahnung, wie ich das machen soll.

Sind die Vektoren mit f1: x^2, f2: 2x+1, f3: x^2-1

linear abhnägig?

Was mache ich denn weiter mit dem Ansatz

a*f1+b*f2+c*f3=0???

Danke!!
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Wolfgang

Wolfgang

10:50 Uhr, 22.12.2005

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Gib doch bitte den zugrundeliegenden K-Vektorraum an.
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anonymous

anonymous

10:57 Uhr, 22.12.2005

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Hallo!



Sind die Vektoren mit f1: x^2, f2: 2x+1, f3: x^2-1

linear abhnägig?

Was mache ich denn weiter mit dem Ansatz

a*f1+b*f2+c*f3=0???

Danke!!



Ja, der Ansatz ist okay (die 0 rechts ist, um genau zu sein, die Nullfunktion!). Um nun a,b,c zu berechnen, mußt du allerdings beachten, dass die Funktionen ja genau dann linear abhängig sind, wenn es konstante a,b,c aus R gibt, so dass für alle ! x aus dem Def.-Bereich der Funktionen gilt:

a*f1(x)+b*f2(x)+c*f3(x)=0.

x=0 liefert a*f1(0)+b*f2(0)+c*f3(0)=0, also

b-c=0 bzw. b=c.

x=1 liefert

a+3b=0, bzw. a=-3b und mit obigem:

a=-3b=-3c

x=2 liefert:

4a+5b+3c=0, also mit obigem:

-12b+5b+3b=0, also b=0, und damit b=c=0 und damit a=-3c=0, also a=b=c=0.



Gruß,

Weißnix
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anonymous

anonymous

11:03 Uhr, 22.12.2005

Antworten
Hallo Wolfgang! Mit ziemlicher Sicherheit ist der zugrundeliegende K-Vektorraum der Raum der reellwertigen Funktionen über R, also

X:={f: R -> R, f Abbildung}, wobei:

(f+g)(x):=f(x)+g(x) (für alle x aus R, f,g aus X),

(r*f)(x):=r*f(x) (für alle r aus R, f aus X)



Gruß,

Weißnix
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anonymous

anonymous

14:19 Uhr, 22.12.2005

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Danke, danke, danke!!!!

Sorry, dass ich das nicht angegeben habe, f1, f2 und f3 sind Element von Pol (I,R), wobei Pol (I,r) den Vektorraum aller Polynomfunktionen auf einem Intervall I cR bezeichnet. Das ist doch, was du meintest, oder?

Danke nochmal!!

Hanna
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anonymous

anonymous

18:12 Uhr, 22.12.2005

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Hallo Hanna,

ist denn das Intervall konkret gegeben? Meine Lösung passt in diesem Falle ja nur, wenn 0,1,2 Elemente des Intervalls sind. Andernfalls mußt du halt 3 Gleichungen analog aufstellen für 3 Punkte aus dem Intervall! Ist klar, was ich meine?



Gruß,

Weißnix
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anonymous

anonymous

18:51 Uhr, 22.12.2005

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Nee, ein konkretes Intervall ist leider nicht gegeben..., soll nur Teilmange von R sein...
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anonymous

anonymous

20:53 Uhr, 22.12.2005

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Hallo Hanna!



Dann mußt du wohl etwas allgemeiner rangehen, irgendwie derart:

Sei I Teilmenge R ein nichtleeres Intervall und seien j < k < l aus I. Dann ergeben sich 3 Gleichungen derart

a*f1(j)+b*f2(j)+c*f3(j)=0

a*f1(k)+b*f2(k)+c*f3(k)=0

a*f1(l)+b*f2(l)+c*f3(l)=0



Naja, einsetzen, gehe damit um, als wenn Du 3 Gleichungen in den Variablen a,b,c gegeben hättest (j,k,l sind dann ja quasi als feste Werte zu betrachten) und mit etwas rechnen kommt dann hoffentlich heraus, dass a=b=c=0 gilt. Das ist dann rechentechnisch etwas aufwendiger, aber ich denke, man kann sich an dem obigen Beispiel orientieren (das Beispiel oben greift halt nur, wenn 0,1,2 in I liegen, denn dann wähle man einfach j=0, k=1 und l=2). Probier's mal oder ggf. den Übungsleiter fragen, wie allgemein die Lösung der Aufgabe sein soll ;)!



Gruß,

Weißnix
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anonymous

anonymous

19:25 Uhr, 23.12.2005

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Hallo auch,



ich hätte mir das jetzt so gedacht (funktioniert auch unabhängig vom Intervall):



ax^2+b(2x+1)+c(x^2-1)=0



=>ax^2 + b(2x+1) + +cx^2 - c = 0

=> (a+c)x^2 + b(2x+1) = c



An der Stelle haben wir also links ein Polynom höchstens zweiten Grades (je nach a,b,c) und rechts eine Konstante. Das Polynom links müsste also konstant sein. Allerdings haben konstante Polynome den Grad 0, d.h. a+c=0 und b=0 (weil die x alle verschwinden müssen).



Setzen wir das ein, kommen wir auf c=0, woraus direkt a=0 folgt.



Also muss a=b=c=0 sein und die Polynome sind linear unabhängig.



Es gibt übrigens noch eine andere Möglichkeit. Es gibt eine Isomorphie zwischen dem VR der Polynomfunktionen n-ten Gerades über einem Körper K und dem K^(n+1).

Das sieht man leicht ein, wenn man ein beliebiges Polynom

a_0*x^0 + a_1*x^1 + ... + a_n* x^n betrachtet und dieses mit dem Koeffizientenvektor (a_0,...,a_n)^t aus K^(n+1) identifiziert.



Somit kannst du deine Polynome als "normale" Vektoren auffassen.

Da der Grad in deiner Aufgabe höchstens 2 ist, reicht es, sie als Elemente des K^3 aufzufassen.



x^2 = 0*x^0 + 0*x^1 + 1* x^2 ~ (0,0,1)

2x + 1 = 1*x^0 + 2*x + 0*x^2 ~ (1,2,0)

x^2-1 = -1*x^0 + 0*x^1 + 1*x^2 ~ (-1,0,1)



Und wie man diese drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüft, weißt du ja sicherlich. :)



Hoffe, geholfen zu haben.
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anonymous

anonymous

21:56 Uhr, 23.12.2005

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Hi LittleHelper!



Jepp, sehr schöne Lösung. Soweit wollte ich mich gar nicht mehr mit der Aufgabe befassen, allerdings finde ich die Lösung mithilfe der Isomorphie noch schöner, wenngleich beide das sind.



Gruß,

Weißnix
Antwort
anonymous

anonymous

11:11 Uhr, 25.12.2005

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Hallo!

Vielen, vielen Dank!!