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Lineare Abbildung, Kern bestimmen

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Tags: Kern, Linear Abbildung, Vektorraum

Ninad aktiv_icon

18:20 Uhr, 02.09.2015

Hallo, es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben ist eine lineare Abbildung

L : ℝ_{\leq 2} [x] \to ℝ_{\leq 2} [x],

sowie drei Bildelemente der Abbildung:

L (x^{2} + x) = x + 1, L (x + 1) = 5 x + 5, L (x^{2} + 1) = - x^{2} - 1

a)

Bestimme

L (x - 1)

b)

Bestimme zwei Elemente, die im Kern von

L

liegen.

Zu a habe ich mir nun folgendes gedacht: Da

L

linear gilt

L (x^{2} + x) = L (x^{2}) + L (x) = x + 1

L (x + 1) = L (x) + L (1) = 5 x + 5

L (x^{2} + 1) = L (x^{2}) + L (1) = - x^{2} - 1,

ich erhalte also 3 Unbekannte und 3 Gleichungen, stelle die LGS um und erhalte somit

L (x^{2}) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \frac{5}{2}

L (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + \frac{7}{2}

L (1) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{3}{2}

.

Also habe ich

L (x - 1) = L (x) - L (1)

durch Einsetzen erhalten.

Zu

b)

Möchte ich nun zwei Elemente aus dem Kern von

L

bestimmen, muss ja

L (p) = 0

gelten. Ich dachte also ich betrachte

z . B

L (x + 1) = 5 x + 5

wird

0,

wenn

x = - 1

. Es folgt also für

x = - 1 : L (x + 1) = L (- 1 + 1) = - L (1) + L (1) = 0 \Rightarrow 0

in Kern(L).
Setze ich aber

x = 0 \in L (x)

ein, kommt

\frac{7}{2}

raus... wo ist mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ezio1991 aktiv_icon

18:30 Uhr, 02.09.2015

Deine Überlegung ist in sofern falsch, dass die Elemente, die im Kern sind, für jedes

x \in ℝ

drin sind...

Ninad aktiv_icon

18:35 Uhr, 02.09.2015

Hmm, das verstehe ich nicht so recht.. ich hab doch jetzt raus gefunden, dass die 0 im Kern(L) liegt, dh.

L (0) = 0,

oder nicht?

Ezio1991 aktiv_icon

18:48 Uhr, 02.09.2015

0

ist in dem Fall (Grunkörper ist

ℝ

) immer drin: für jedes Polynom

P

gilt

L (0 \cdot P) = 0 \cdot L (P) = 0

Ninad aktiv_icon

19:13 Uhr, 02.09.2015

Also ich glaube, ich verstehe das alles gerade falsch...

Ezio1991 aktiv_icon

19:30 Uhr, 02.09.2015

Was genau verstehst du nicht? Jedenfalls um den Kern deiner Abblidung zu bestimmen, musst du folgendes tun: jedes Polynom

P (x)

schreibt sich folgendermaßen:

P (x) = a x^{2} + b x + c

, mit

a, b, c \in ℝ

. Es ist nun an dir zu bestimmen, welche Werte

a, b

und

c

haben müssen, sodass:

L (P (x)) = 0

, d.h. du wirst ein System mit drei Gleichungen und drei unbekannten zu lösen haben:

L (P (x)) = L (a x^{2} + b x + c) = a L (x^{2}) + b L (x) + c L (1) = 0

.
Wenn du alles ersetzt bekommst du die drei Gleichungen wie folgt:
Die "vorzahl" von

x^{2}, x

UND von

1

muss null ergeben (da

1, x, x^{2}

eine Basis für den Vektorenraum

ℝ_{\leq 2} (x)

ist).

Ninad aktiv_icon

21:51 Uhr, 02.09.2015

Ja stimmt, hatte einen Denkfehler.. habe noch einmal genauer drüber nachgedacht und jetzt ist alles klar :-)

Noch eine weitere Frage: im Aufgabenteil

c)

sollen wir ein Element aus

ℝ_{\leq 2} [x]

bestimmen, welches nicht im Bild von

L

liegt.

Aber da ja

L (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) = a L (x^{2}) + b L (x) + c L (1)

= x^{2} (- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} c) + x (- 2 a + 3 b + 2 c) + (- \frac{5}{2} a + \frac{7}{2} b + \frac{3}{2} c)

muss doch, wenn ich das richtig verstehe, jedes Element im Bild(L) liegen, oder?

Ezio1991 aktiv_icon

22:06 Uhr, 02.09.2015

Ich bin leider was müde un seh net mehr richtig :-P)
aber wenn du verifizieren willst ob jedes Eelement von

ℝ_{\leq 2} [x]

im Bild von

L

liegt, dann verifiziere doch einfach ob

L

surjektiv ist, d.h.: geh von einem beliebigem Polynom

P (x) = a x^{2} + b x + c

aus und suche

α, β, γ

, sodass

L (α x^{2} + β x + γ) = a x^{2} + b x + c

. Wenn du solche

α, β, γ

heißt das effektiv dass das Bild von

L

gleich an

ℝ_{\leq 2} [x]

ist. :-)
Ich wünsche noch einen schönen Abend und eine erholsame Nacht :-)
mfg
Angelo

Ninad aktiv_icon

22:46 Uhr, 02.09.2015

Hmmm nun bin ich mir doch nicht mehr sicher, ob jedes Element im Bild(L) liegt, da ich das mit der Surjektivität nicht hinbekomme

: (

bin überfragt, hat vielleicht sonst noch jemand eine Idee, wie ich ein Element bestimmen kann, welches nicht im Bild von

L

liegt?

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