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Lineare Optimierung? Extremwert?

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Extremwert, Lineare Optimierung

 
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moogle

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23:43 Uhr, 21.02.2011

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Nabend zusammen!

Ich habe übermorgen Abschlussprüfung in Mathe, und bin seit Tagen am Lernen. Unter anderem stehen in der Stoffliste die Extremwertaufgaben.

Von der Prüferin hab ich eine umfangreiche Liste mit Beispielen bekommen; eines davon bereitet mir Kopfverbrechen.

Extremwertaufgaben habe ich NUR in Form von zB geometrischer Optimierung gehabt bzw gelernt. Ein- und Umschreibaufgaben, mit gegebenen Stäben ein möglichst großes Zelt aufstellen, die Durchflussmenge einer Rinne, die aus 3 gleichlangen Brettern zusammengebaut wird optimieren und so weiter.

Eine Aufgabe lautet jedoch:

"Für eine bestimmte Illustrierte sind laut Umfrage (1000 Befragte) 305 bereit, einen Preis von 2,30 Eur zu bezahlen. Würde das Produkt um 15 Cent teurer angeboten, gäbe es um 10 Käufer weniger (linearer Zusammenhang).

Bestimmen Sie den Preis pro Stück (auf Cent gerundet), bei dem der zu erwartende Umsatz möglichst groß ist! (Umsatz = Stückpreis mal Anzahl der zu verkaufenden Stück). Wie groß ist dieser Umsatz?"

Ich hab keinen Plan, wie ich da rangehen soll.

Ich hab von jemandem gehört, dass das eine sogenannte "lineare Opimierung" sein soll; ich hab Aufgaben dieser Art allerdings noch nie gehabt, weiß nichtmal wie ich anfangen soll.

Vielen Dank schonmal!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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CKims

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23:58 Uhr, 21.02.2011

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hmhmhmmm... mit linearer optimierung is nicht...

kurvendiskussion noch kein begriff??
moogle

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00:26 Uhr, 22.02.2011

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Sorry, aber das hilft mir rein garnichts.

Selbstverständlich kann ich Kurven diskutieren (bei "herkömmlichen" Extremwertberechnungen gilt es ja auch das Maximum der Funktion zu finden), aber was soll die Antwort?!

Willst du mir sagen, ich muss eine Funktion aufstellen, und von dieser das Maximum suchen?

Und wie sieht diese Funktion aus?

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CKims

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00:30 Uhr, 22.02.2011

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"Sorry, aber das hilft mir rein garnichts."

doch... es hat dir geholfen... du hast naemlich den nagel auf den kopf getroffen ;-)


sooo...

Umsatz U=... ???

Anzahl kauefer A=mx+b

(was ist m? tip: steigungsdreieck)
(was ist b? tip: dir ist ja ein punkt gegeben)


moogle

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00:39 Uhr, 22.02.2011

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Öööhmm..

U=A*p Anzahl Käufer mal Preis.

A= ..schwierig. m = 61/46? (305/230 gekürzt)
b... Keinen Dunst.

Ich blick das immer noch nicht so ganz.. wie soll ich denn bei einer Geraden ein Maximum feststellen können? :(

Danke.

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CKims

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01:00 Uhr, 22.02.2011

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ich bald schlafen... hier ansatz

der satz in klammern (linearer zusammenhang) sagt uns, dass die anzahl der kaeufer eine gerade ist, wobei ich jetzt den preis mit x bezeichnet hatte ( cent).

A=mx+b

"Würde das Produkt um 15 Cent teurer angeboten, gäbe es um 10 Käufer"

m=y2-y1x2-x1

bei einem preis von x1=230 cent kaufen y1=305 leute das produkt.

bei einem preis von x2=245 cent kaufen nur noch y2=295 leute das produkt.

das ergibt eine steigung m von

m=295-305245-230=-1015=-23

also kennen wir schonmal

a=-23x+b

dann setzen wir mal einen bekannten punkt ein, naemlich 230 cent und 305 leute

305=-23230+b

und berechnen b...

bla bla bla

dann koennen wir die umsatz gleichung nehmen

U=xa

und setzen fuer a die geradengleichung ein...

das ergibt eine quadratische funktion bei der du jetzt das maximum finden kannst...per kurvendiskussion

lg



moogle

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01:26 Uhr, 22.02.2011

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Hey,

danke für die Hilfe. Lustigerweise hab ich genau mit diesem Ansatz gestern schon gearbeitet, aber das hat bei mir irgendwie zu nichts geführt.

Habs jetzt richtig gerechnet; der optimale Preis ist 343,75 Cent, also gerundet 3,44 Euro.

Nur beim Umsatz steh in der Lösung etwas anderes, als mir rauskam.

Gute Nacht!

Edit: Hat sich erledigt, Umsatz passt jetzt auch :)

Danke nochmal!

 
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