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Funktionsgleichungen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Funktion, Linear

 
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user456

user456 aktiv_icon

22:03 Uhr, 17.12.2014

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Hallo liebe User,

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir nicht so sicher bin wie ich sie angehen soll.

Aufgabenstellung:

Die Punkte A,B und C liegen jeweils auf der Parabel P; ermittle die Funktionsgleichung von P. Gib bei allen Parabeln, die nach oben geöffnet sind, die Scheitelform an.

a)A(0|2)B(4|18)C(-1|8)

Kann mir jemand erklären wie man generell eine Funktionsgleichung aufstellt, wenn man Punkte vorgegeben bekommt?

Und kann mir jemand noch erklären inwiefern das mit der Scheitelform zusammenliegt bzw. wie diese geformt wird?

MfG
user456

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

23:13 Uhr, 17.12.2014

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Eine allgemeine Form einer Parabel-Gleichung lautet:
y=ax2+bx+c
Wenn Du nun weißt, dass A(0,2) ein Punkt auf der Parabel ist, so heißt das doch, dass für x=0 y=2 heraus kommen muss.
So setze doch x=0 und y=2 einfach mal in obige Gleichung ein, was erhältst Du dann?
Verfahre mit den anderen beiden Punkten B und C genauso.

Die 'Scheitelform' ist nicht 'geformt', sondern es ist eine andere Darstellung obiger Gleichung. Sei der Scheitelpunkt einer Parabel (xS,yS) so kann schreiben:
y=a(x-xS)2+yS
Warum ist das so? Setze doch für x einfach mal xS ein - was erhältst Du dann als Lösung? Und wenn Du einen anderen Wert für x einsetzt - was lässt sich dann zum Resultat y bezogen auf yS sagen?

Gruß
Werner
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Femat

Femat aktiv_icon

00:15 Uhr, 18.12.2014

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Wichtig
Studier deine Matheunterlagen und schau dir ein gelöstes Beispiel genau an.
Es gibt im Netz auch Rechner, die das für dich machen

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Screenshot (261)
Screenshot (262)
Screenshot (263)
user456

user456 aktiv_icon

07:14 Uhr, 18.12.2014

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2=a × 0+b × 0+c

2=c

Ist das so richtig?

2=a × (3-3s) × (3+3s)+2s
2=a × 9-9s-9s2+2s
2=a × 9-9s2+2s

Aber so richtig verstanden habe ich noch nicht was ich nun daraus resultieren soll für y. Ich könnte jetzt nur behaupten, dass c=2 ist und dass ich unten nicht mehr weiterrechnen kann. Gibt es da nicht einen speziellen Weg die Scheitelform auszurechnen? (So habe ich das in der Schule gelernt)
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Femat

Femat aktiv_icon

10:44 Uhr, 18.12.2014

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Versuch mal zuerst das zu verstehen.
Wenn du dann die Funktionsgleichung hast, kannst du dir immer noch Gedanken über die Scheitelpunktsform machen.

141218
user456

user456 aktiv_icon

20:18 Uhr, 18.12.2014

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So, habe jetzt die Lösung selber rausgefunden.

Man hat ja die Punkte A(0|2),B(4|18) und C(-1|8) vorgegeben.

Die Funktionsgleichung für die Normalparabel lautet ja: y= ax^2 +b+c

Nun muss man die x und y aus den gegeben Punkten in jeweils eine Gleichung einsetzen.

(1) 2=a02+b0+c
(2) 18=a42+b4+c
(3) 8=a(-1)2+b(-1)+c

b und c sind uns noch nicht bekannt, deshalb schreiben wir sie zuersteinmal nur ab.

(1) 2=c
(2) 16a+4b+c
(3) 8=a-b+c

Nun rechnen wir jede Gleichung aus. Praktischerweise bekamen wir die Variable c durch das Ausrechnen von (1).

(2) 18=16a+4b+2|-2
(3) 8=a-b+2|-2

Wir setzen anschließend c in Gl. (2) und (3) ein. Danach eliminieren wir c, um a rauszukriegen.

(2) 16=16a+4b
(3) 6=a-b

Durchführung der Äquivalenzumformung.

(3) a=6+b

Wir stellen Gl. (3) um, um a rauszukriegen.

(2) 16=16(6+b)+4b
16=96+16b+4b|-96
-80=20bb=-4

Wie setzen a in Gl. (2) ein und rechnen uns somit b aus.

a=6-4
a=2

Um a rauszukriegen, setzen wir b in die Gl. von a ein.

a=2|b=-4|c=2

y=2x2-4x+2

Jetzt die Werte von a,b und c einfach in die Funktionsgleichung y= ax^2 + bx +c einsetzen.

MfG
user456







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ledum

ledum aktiv_icon

12:07 Uhr, 20.12.2014

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Hallo
gut gemacht. Kriegst du die Scheitelpunktform hin?
Gruß ledum
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