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Logikaufgabe

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13:02 Uhr, 07.10.2012

hallo,

ich soll für eine Übung an der Uni 6 Fragen vorbereiten..
Jetzt hab ich aber nicht wirklich eine Ahnung davon, da wir im Theorieunterricht besagtes Thema noch nicht durchgenommen habe.

Ich hab mir mal 3 Aufgaben rausgenommen bei denen ich absolut ratlos bin, oder teilweise nicht einmal weiß was eig. gefragt ist.

Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand helfen kann!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:12 Uhr, 07.10.2012

Dann solltest du dich bezüglich Logik/Quantoren etwas informieren, welche gibt es, was bedeuten sie.

Bspw. ist das erste eine Allaussage, die Verneinung ist damit eine Existenzaussage, denn "Alle Menschen haben blaue Augen" Verneinung: "Es gibt mindestens einen Menschen der eben keine blauen Augen hat".

Wie sieht es mit dem Zweiten aus?

(Hätte man

ℚ \ {0}

gewählt, gelte die Aussage sogar mal)

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13:13 Uhr, 07.10.2012

Wenn ihr das noch nciht hattet, macht ihr das dann noch? Oder MUSST du diese Aufgaben jetzt machen, vielleicht greifst du ja vor und bist deshalb im Moment ratlos?!

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13:34 Uhr, 07.10.2012

Es sieht so aus dass ich die Beispiele bis morgen selsbtständig vorbereiten soll(als Hausaufgabe), jedoch fällt mir dass etwas schwer wenn ich zu dem Thema noch nicht viel gemacht habe. Die 3 anderen Beipiele hab ich lösen können indem ich mich an den Stoff gehalten habe den wir bisher durchgenommen haben..

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13:37 Uhr, 07.10.2012

Und beim 2. Bsp. weiß ich zwar was die einezelnen Operationen bedeuten, hab aber keine Ahnung was überhaupt gefragt ist??

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14:33 Uhr, 07.10.2012

Kannst du mal vielleicht bennen welches "die drei anderen Beispiele" und welches "das 2. Beispiel" sein soll.

Wo genau benötigst du nun Hilfe?

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14:43 Uhr, 07.10.2012

Das 2. Bsp. ist der Bildanhang mit der Bezeichnung Aufgabe3, wo es heißt "zeigen Sie". Aber was soll ich dort zeigen?

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14:48 Uhr, 07.10.2012

Zu zeigen sind "Mengengleichungen".

Dazubedarf es natürlichst zunächst dem Wissen was die Operatoren bedeuten, was - wie du sagst - bekannt ist.

Links steht also eine Menge von Elementen nämlich

K

ohne

(K

ohne

L)

und rechts die Schnittmenge von

K

und L.

Du sollst nun die Gleichheit dieser beiden Mengen zeigen, man kann bspw. hergehen un dzeigen, dass jedes Element der linken Menge in der rechten Menge liegt und jedes Element der rechten Menge in der linken.

Habt ihr schon irgendwelche Voraussetzungen die benutzt werden können (Sätze, Regeln,...)?

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14:50 Uhr, 07.10.2012

K/L würde doch bedeuten dass x ein Element der Menge K aber kein Element der Menge L ist, oder?

Aber was soll gezeigt werden wenn da steht K/(K/L)=KnL ?

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14:52 Uhr, 07.10.2012

Nein, leider haben wir zum Thema Durchschnitt, Vereinigung und Differenz noch keine Sätze oder ähnliches..
Wie würden die aussehen?

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14:55 Uhr, 07.10.2012

Wenn "x" beliebiges Element von

k \ L

ist dann ja.

Was du zeigen sollst habe ich schon geschrieben, die linke Menge ist die gleiche wie die rechte.

Also Die Menge:

K

ohne

(K

ohne

L)

ist die gleiche Menge:

K \cap L

.

Wie wärs wenn du so beginnst:

Sei

x \in K \ (K \ L)

beliebig, dann ist

x \in K \land x \notin (K \ L)

Ich denke, dass sollte noch klar sein,

z

z

. ist nun

x \in K \cap L

.
Dannach die Rückrichtung.

ps: Ich denke die Sätze sähen so aus, wie die gerade zu bearbeitende Aufgabe 3.

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15:59 Uhr, 07.10.2012

Also würde das so aussehen?

K\(K\L)

$x \in K \land \notin (x \in K \land x \notin L) x \in K \land x \in L K \cap L$

wenn ja, warum, bzw. muss ich das noch näher erläutern?

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16:05 Uhr, 07.10.2012

Nein.

Kennst du die Bedeutung von "

\land

" und "

\lor

" ?

\land

bedeutet in der Logik "und" und

\lor

bedeutet "oder".

Bei dir steht also: Es gilt

x

ist Element von

K

und es gilt kein Element von

(x

ist Element...)

Also die Form und Struktur ist nicht annehmbar.

Schreibe es lieber so auf wie ich.

Sei

x \in K \ (K \ L)

dann folgt

x \in K

und

x \notin (K \ L),

außerdem gilt ja wegen

x \notin (K \ L),

dass

. .

. ?
Schlüssel diesen fall mal so auf wie zwei Zeilen üüber dieser, man kann hier mehrere Fälle unterscheiden, jedoch macht nur einer Sinn da ja schon

x \in K

ist.

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16:16 Uhr, 07.10.2012

Dass würde dann bedeuten dass aus

x∉(K\L) folgt x∉K und x∈L

würde dann in Summe bedeuten

x∈K und x∉K und x∈L

?

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16:25 Uhr, 07.10.2012

Also

x

ist Element von

K

und gleichzeitig auch kein Element von K?

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16:25 Uhr, 07.10.2012

$K \ (K \ L) (x \in K) \land (x \notin (K \ L)) (x \in K) \land (x \notin K) \land (x \in L)$

und das ist dan gleichbedeutend mit

$(x \in K) \land (x \in L) b z w . K \cap L$

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16:26 Uhr, 07.10.2012

Das ist ja was mich verwirrt..

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16:28 Uhr, 07.10.2012

Aus

x \notin (K \ L)

folgt, dass:
1.

x \in K \land x \in L

oder
2.

x \notin K \land x \notin L

oder
3.

x \notin K \land x \in L

Die Fälle 2 und 3 machen aber wenig Sinn, es bleibt also

x \in K \land x \in L

und das ist ja gerade die Bedingung dafür, dass

x \in K \cap L

weil das ja eben der Schnitt aus beiden ist.

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16:37 Uhr, 07.10.2012

Und wie komme ich auf 1. und

2 .,

ist das ein Satz den wir noch nicht hatten?
Mir war nicht klar dass es auser 3. noch weitere Lösungen gibt..

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16:42 Uhr, 07.10.2012

Hm, durch Logik?

Irgendwo muss man ja mal anfangen ohne Definitionen und Sätze.

1.

x

soll kein Element aus der Menge

K

ohne die Elemente von

L

sein, dass ist dann der Fall wenn

x \in K

ist und

x \in L

weil dann werden alle Elemente die sowohl in

K

als auch in

L

sind ja abgezogen und sind eben nicht mehr enthalten.

2.

+ 3

. Es könnte aber auch sein, dass die Elemente ja erst garnicht in

K

sind, dann sind sie sicher auch nicht in

(K \ L)

(wie auch) dafür gibt es dann die Möglichkeit, dass es/sie aber trotzdem in

L

oder nicht in

L

ist/sind.

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16:59 Uhr, 07.10.2012

Gibt es dann für x∈(K\L) auch mehr als nur eine Lösung?

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17:01 Uhr, 07.10.2012

Nein.

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17:06 Uhr, 07.10.2012

Ich hoffe ich nerve dich noch nicht ;-)
Wie siehts mit Bsp.

1 . b)

aus? Stimmt:

i

. hinreichend
ii. hinreichend
iii. hinreichend und notwendig
iv. hinreichend und notwendig

?

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17:08 Uhr, 07.10.2012

Möchtest du nicht zunächst die Aufgabe abschließen?

Ich habe nicht das Gefühl, dass du die die Aufgaben von Nr. 3 beantworten könntest.

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17:14 Uhr, 07.10.2012

Zu deiner anderen Aufgabe (ich bin kein Fachmann).

Wenn

x

durch

10

teilbar ist, dann muss

x

als letzte Ziffer eine Null haben, das ist unerlässlich, ich schlage also auf jeden Fall notwendig vor.

Aus

x

ist durch 4 teilbar folgt auf jeden fall, dass

x

ganz sein muss, bspw.

0; 4; 8; - 4; . .

.
Auch hier ist wohl notwendig mit reinzunehmen.

3. Wäre die Bedingung notwendig, so bedeutet, dass:

x + y

gerade

\Rightarrow x

und

y

sind ungerade aber

1,5 + 2,5 = 4

oder

2 + 4 = 6

Also sicher nicht notwendig.

4. Ähnlich:

- 2 \cdot (- 2) = 4

aber 2 und

- 2

sind nicht positiv, entsprechend müssen

x

und

y

nicht "notwendigerweise" positiv sein.

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17:18 Uhr, 07.10.2012

$K \ (L \cup M) (x \in K) \land (x \notin (L \cup M))$

...

$x \notin (L \cup M) (x \notin L) \land (x \notin M)$

soweit richtig?

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17:23 Uhr, 07.10.2012

Schreibe mir zunächst mal beide Richtungen der ersten Aufgabe auf.

Und bitte beachte die Form!

Du schreibst alles mit "und"s aneinander das macht man so nicht, man erklärt den ersten Sachverghalt, dann formuliert man etwa "daraus folgt" und dann den nächsten und in diesen einzelnen Sachverhatenschreibt man ein und, nicht aber um diese zu verbinden.

Es lautet:

x \in K \ (k \ L) \Rightarrow x \in K \land x \notin (K \ L)

Betrachte:

x \notin (K \ L) \Rightarrow 1

. .

2 . .

3 . .

. usw.

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17:41 Uhr, 07.10.2012

Warum in beide Richtungen, du hast doch schon erläutert warum beide gleich sind?

$K \ (K \ L) \Rightarrow x \in K \land x \notin (K \ L) \Rightarrow x \in K \land x \in K \land x \in L \Rightarrow x \in K \land x \in L \Rightarrow K \cap L$

Und zu dem anderen Bsp.

Es ist doch nicht definiert dass x nach der Teilung durch 10 eine ganze Zahl ergeben muss(nur x muss eine ganze Zahle sein). Also hätte ich 22 ist diese Zahl ja auch durch 10 teilbar und ich habe keine 0 an letzter Stelle, das Ergebnis wäre halt 2,2. Oder setzt man bei der Definition "durch 10 teilbar" vorraus dass das Ergebnis eine ganze Zahl ergibt?

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17:48 Uhr, 07.10.2012

"Warum in beide Richtungen"

Wenn du nur dieeine Richtung zeigst, dann sind alle Elemente der Linken Seite auch in der rechten, Bsp.:

A = {1,2,3}

und

B = {1,2,3,4}

alle Elemente aus A sind Element von

B

aber doch offenbar

A \neq B

Deine Beweisführung ist etwas undurchsichtig aber durchaus korrekt, das Problem könnte das Nachvollziehen sein, etwa könnte das dem Korrektor zu wenig sein.

Erste Richtung:

Sei

x \in K \ (K \ L)

beliebig, dann ist

x \in K

aber

x \notin K \ L

aus letzterem können wir drei Fälle schließen:
1.

x \in K \land x

in LL oder
2.

x \notin K \land x \notin L

oder
3.

x \notin K \land x

in LL
2. und 3. führten zu einem Widerspruch, da wegen oben schon

x \in K

ist, folglich muss also

x \in K \land x \in L

sein und somit ist

x

auch in

K \cap L

.

Nun noch: Sei wegen mir mal

y \in K \cap L z

z

y \in K \ (K \ L)

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17:50 Uhr, 07.10.2012

Zu dem Anderen:

In meiner/unserer Definition ist es sehr wohl so definiert.

a | b \Leftrightarrow \exists c \in ℤ

mit

a \cdot c = b

Das "|" zeichen steht für teilt, also a teilt

b

.
Erklärung: a teilt

b

eben genau dann, wenn es eine ganze Zahl gibt, sodass a multipliziert mit dieser Zahl eben

b

ergibt, anders

\frac{a}{b} = c

und

c \in ℤ

.

Wie ist eure Definition?

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18:09 Uhr, 07.10.2012

Ich bin schon davon ausgegangen, wollte aber sicher gehen.

Zum nächsten Bsp.

$K \ (L \cup M) \Rightarrow x \in K \land x \notin (L \cup M) ... x \notin (L \cup M) \Rightarrow x \notin L \land x \notin M ... K \ (L \cup M) \Rightarrow x \in K \land x \notin (L \cup M) \Rightarrow x \in K \land x \notin L \land x \notin M$

aber dann weiß ich nicht mehr weiter, sofern das überhaupt stimmt..

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18:15 Uhr, 07.10.2012

Naja gut, dann spare ich mir die andere Richtung.

Vielleicht ist es dir nciht aufgefallen aber duhast alles doppelt geschrieben.

x \in K \land x \notin L \land x \notin M

ist schonmal gut.
jetzt ist es interessant zu sehen wo wir hin wollen.
Betrachten wir doch zunächst

K \ L,

x \in K

ist aber

x \notin L

ist

x \in K \ L

analog dazu ist

x \in K \ M,

usw.

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18:34 Uhr, 07.10.2012

Also wenn ich es von da an angehe wo wir ich hin will, dann würde das so aussehen:

$(K \ L) \cup (K \ M) \Rightarrow x \in (K \ L) \lor x \in (K \ M) \Rightarrow (x \in K \land x \notin L) \lor (x \in K \land x \notin M)$

aber wie bekomme ich das jetzt mit dem anderen ergebnis unter einen Hut?

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18:51 Uhr, 07.10.2012

Ich meinte du schaust wo du hin willst und arbeitest in die Richtung.

Bspw. hatte ich ja schon gezeigt, dass

x \in K \ L

und

x \in K \ M

ist.
jetzt musst du nur noch sehen, dass dann auch

x \in (K \ L) \cup (K \ M)

ist

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19:04 Uhr, 07.10.2012

wenn ich also weiter schreibe

$K \ (L \cup M) \Rightarrow x \in K \land x \notin (L \cup M) \Rightarrow x \in K \land x \notin L \land x \notin M \Rightarrow (x \in K \land x \notin L) \lor (x \in K \land x \notin M) \Rightarrow x \in (K \ L) \lor x \in (K \ M) \Rightarrow x \in (K \ L) \cup (K \ M) \Rightarrow (K \ L) \cup (K \ M)$

genügt das?

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19:15 Uhr, 07.10.2012

Nein, also stell dir vor du müsstest das kontrollieren, wäre das für dich ein ordentlicher Beweis? Ich meine man sollte es einfach schöner strukturieren, außerdem sind zwischendurch einige fragwürdige teilweise auch nicht zielführende Aussagen enthalten.

Sei

x \in K \ (L \cup M)

dann ist vor allem

x \in K

aber

x \notin (L \cup M),

Letzteres ist aber nur erfüllt wenn

x \notin L \land x \notin M

.
Wegen

x \in K \land x \notin L

folgt sofort, dass

x \in K \ L

und analog auch

x \in K \ M,

insgesamt also auch

x \in (K \ L) \cap (K \ M)

So würde ich es schreiben.

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19:34 Uhr, 07.10.2012

Ok, vielen dank, das macht das ganze natürlich viel übersichtlicher.

Dann hätte ich noch 2 Fragen

zum 1.Bsp.(Verneinung)

$\neg (\forall x \in Q : A (x)) \Leftrightarrow \exists x \in Q : \neg A (x) b z w . \neg (\exists x \in Q : A (x)) \Leftrightarrow \forall x \in Q : \neg A (x)$

würde das so aussehen. Aber wie sieht das ganze aus wenn ich das auf mein Bsp. anwenden soll?

Und ich hänge noch ein Bsp. an bei dem ich bei Punkt b) nicht so recht etwas anzufangen weiß..

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19:37 Uhr, 07.10.2012

Welches Beispiel? Das mit den rationalen Zahlen, also Aufgabe

1 a)

ii. ?

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19:41 Uhr, 07.10.2012

Jap

und das Bsp. das ich noch angehängt habe, wobei ich nur bei b) nicht so recht weiß..

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19:44 Uhr, 07.10.2012

Vielleicht hilft es dir das zunächst in Worte zu fassen.

"Zu jeder rationalen Zahl

x

gibt es eine rationale Zahl

y,

sodass das Produkt dieser beiden Zahlen 1 ergibt"

Negation?

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19:46 Uhr, 07.10.2012

b)

erscheint mir aber recht offensichtlich.

Beispiel:

A = {1,2,3}

A \ (A \ {1})

Was ist A ohne 1? Das sind alle übrigen Zahlen aus A und was ist A ohne alle übrigen Zahlen aus A? Das ist dann wieder 1.

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19:57 Uhr, 07.10.2012

Die Negation wäre dass das Produkt beider Zahlen nicht 1 ergibt?

Also $\exists x \in Q \forall x \in Q : x \times y \neq 1$

Und zum anderen Bsp. also

{1,1/2,1/3}

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20:03 Uhr, 07.10.2012

Ich behaupte: Es gibt mindestens eine rationale Zahl

x,

für die es keine rationale Zahl

y

gibt, sodass

x \cdot y = 1,

lautet die Verneinung.

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20:06 Uhr, 07.10.2012

Ich komm mir schon doof vor^^

Du erklärst es mir wie einem Kind und ich kapiers trotzdem nicht,

ich habe keine Ahnung..

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20:09 Uhr, 07.10.2012

Was genau verstehst du denn nicht?

Wenn es zu jeder rationalen Zahl eine solche Zahl geben muss, dann lautet doch die Verneinung, das es zumindest eine Zahl gibt für die das nicht der Fall ist.

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20:17 Uhr, 07.10.2012

Vielleicht meintest du ja das was ich sage?

Denn in Quantoren ist es fast richtig.

Schreiben könnte man:

\exists x \in ℚ \forall y \in ℚ : x \cdot y \neq 1

Das wäre korrekt aber dein Satz klang so allgemein, dass ich annahm du meinst das Falsche.

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20:18 Uhr, 07.10.2012

In Worten ist mir das schon klar, ich verstehe ja worauf du hinaus möchtest. Aber ich weiß nicht wie ich das mathematisch formulieren soll..

Ich glaube nicht dass mein Prof. einen AntwortSATZ von mir möchte

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20:19 Uhr, 07.10.2012

Das ist mir bewusst, siehe meinen eben erstellten Post.
ich denke, wenn du es inhaltlich verstanden hast, kannst du es so schreiben (abgesehen davon, dass du oben

x

statt

y

geschrieben hast)

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20:28 Uhr, 07.10.2012

Achso, ok, dann stimmt das so(abgesehen von x statt y, Schreibfehler), ich muss meinem Prof. nur erklären können was damit gemeint ist, bzw. wie ich darauf komme.

Du hast mir heute echt weitergeholfen

VIELEN, VIELEN DANK!

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20:30 Uhr, 07.10.2012

Vor allem musst du es selbst verstanden haben, das ist wichtig und genau dafür sollte man so ein Forum benutzen.

Das ist gern geschehen, viel Erfolg weiterhin.

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