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Matrix beschreibt Drehung um Achse um Winkel

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Tags: Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt

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16:32 Uhr, 22.01.2017

Hi, ich soll eine Matrix

B

bezüglich der Standardbasis berechnen, die eine Drehung um die Achse

\vec{v}

um den Winkel

α

beschreibt mit

\vec{v} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

und

α = \frac{π}{2}

.

Folgende Vorgehensweise ist empfohlen:
1. ONB

{w_{1}, w_{2}, w_{3}}

von

ℝ^{3}

bestimmen mit

w_{1} | | v

2. Matrix A der Drehung bezüglich der Basis

| w_{1}, w_{2}, w_{3}}

aufstellen
3. Matrix des Basiswechsels von Basis

{w_{1}, w_{2}, w_{3}}

zur Standardbasis finden
4. Daraus

B

berechnen

Also dann fang ich mal an:

(1)

\vec{a}, \vec{b}

sind parallel wenn gilt

\vec{a} = λ \cdot \vec{b}, λ \in ℝ

Daher kann ich einfach

w_{1} = v

wählen
Jetzt muss ich die ONB aufstellen:
Dazu wollte ich das Gram-Schmidt-Verfahren einsetzten.

w_{1} = \frac{v_{1}}{| v_{1} |} = \frac{\sqrt{3}}{3} (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

Ich brauche für das Verfahren aber 3 linear unabhänige Vektoren daher hab ich an dieser Stelle versucht für

v_{2}, v_{3}

allgemeine Vektoren zu benutzten (also nur mit Variablen

v_{21}, v_{22}, ...)

. Ich hab dann versucht

w_{2}' = v_{2} - < v_{2}, w_{1} > \cdot w_{1}

zu lösen bin aber beim lösen des LGS auf

0 = - 3

gekommen.
Ich bin mir auch ziemlich unsicher ob das überhaupt der richtige Ansatz ist.
Kann mir jemand helfen Schritt-für-Schritt durch die Aufgabe zu kommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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18:36 Uhr, 22.01.2017

Ok hab auf Wikipedia eine allgemeine Formel für eine Drehmatrix gefunden: siehe Bild
Wenn ich meine Werte einsetzte erhalte ich:

R_{v} (\frac{π}{2}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 \end{matrix})

Ich glaub jetzt muss ich damit bei

(2)

einen Basiswechsel zu

W

machen aber dafür muss ich ja erstmal

W

"in

(1)

bestimmen.

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