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Matrizengleichung nach X umstellen?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

FreddyKr aktiv_icon

21:51 Uhr, 23.03.2014

Hallo zusammen

Wie löse ich die folgenden Matrizengleichung nach

X

auf? Alle Matrizen sind regulär vorausgesetzt und quadratisch.

B X^{T} A^{T} +

(AXB)

^T = E - A^{T}

(E=Einheitsmatrix)

Ich habe bereits mehrere Versuche vorgenommen, komme aber nicht auf die angegebene Lösung:

X = A^{- 1} {(B + B^{T})}^{- 1} - (B + B^{T})

Danke für Eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sukomaki aktiv_icon

22:33 Uhr, 23.03.2014

Hallo FreddyKr,

ich habe da

X = A^{- 1} \cdot (B + B^{T})^{- 1} - (B + B^{T})^{- 1}

heraus.

Wie auch immer - hier mein Rechenweg

(ich habe des öfteren

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

benutzt :

B X^{T} A^{T} + (A X B)^{T} = E - A^{T}

B X^{T} A^{T} + (B^{T} X^{T} A^{T}) = E - A^{T}

(B + B^{T}) \cdot (X^{T} A^{T}) = E - A^{T}

X^{T} A^{T} = (B + B^{T})^{- 1} \cdot (E - A^{T})

(A X)^{T} = (B + B^{T})^{- 1} \cdot (E - A^{T})

A X = (E - A) \cdot (B + B^{T})^{- 1}

X = (A^{- 1} - E) \cdot (B + B^{T})^{- 1}

X = A^{- 1} \cdot (B + B^{T})^{- 1} - (B + B^{T})^{- 1}

ich habe auch noch

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}

benutzt.
Außerdem, dass

(A^{T})^{T} = A

und

((A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1}

.

Gruß
Kai

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