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Menge endlicher Ordnung Untergruppe einer ab. Grup

Universität / Fachhochschule

Tags: abelsche Gruppe, Endliche Ordnung, Untergruppe

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14:09 Uhr, 20.11.2016

Zeige, dass die Menge

T

der Elemente endlicher Ordnung einer abelschen Gruppe

G

stets eine
Untergruppe von

G

ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:43 Uhr, 20.11.2016

Das ist relativ einfach. Nimm zwei Elemente

a, b

endlicher Ordnung und zeige,
dass auch

a b^{- 1}

endliche Ordnung hat. Damit wäre alles gezeigt.

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14:55 Uhr, 20.11.2016

Kannst du das bitte weiter ausführen? Warum wäre dann alles gezeigt?

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14:56 Uhr, 20.11.2016

Was ist die Definition einer Untergruppe?

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15:02 Uhr, 20.11.2016

Eine Untergruppe besteht dann, wenn eine Teilmenge von der Hauptgruppe mit der selben Verknüpfung wie in der Hauptgruppe, eine neue Gruppe bildet.

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15:06 Uhr, 20.11.2016

Zu viele Worte.
Kuck hier:
de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe
Am besten benutze diese Definition:

a, b \in U \Rightarrow a \circ b^{- 1} \in U

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15:08 Uhr, 20.11.2016

Ich verstehe das nicht.

a

,b∈U⇒a∘b−1∈U bedeutet doch übersetzt: Wenn zwei Elemente einer Menge U(oder Gruppe??) sind, dann folgt daraus das das Element a multipliziert mit dem Inversen von

b

wieder in der Gruppe(Menge??) sind.

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15:11 Uhr, 20.11.2016

Und genau das ist eine mögliche Definition der Untergruppe.
Da gibt's nicht zu verstehen, Definitionen müssen nicht verstanden werden, sie sind die Grundlage für alles Andere.

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15:17 Uhr, 20.11.2016

Zeige, dass die Menge

T

der Elemente endlicher Ordnung einer abelschen Gruppe

G

stets eine
Untergruppe von

G

ist.

Ok, danke.
Zurück zur Aufgabe.
Wie kann ich deinen Lösungsansatz denn allgemein darstellen?
Seien

a, b

Elemente endlicher Ordnung,.... ICH HABE KEINE AHNUNG WIE ICH DA RAN GEHE

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15:18 Uhr, 20.11.2016

Was heißt denn, dass sie endliche Ordnung haben? Schreib es auf!

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15:22 Uhr, 20.11.2016

Endliche Ordnung heißt, das ein Element aus

N

gibt, mit welchem gilt:

a^{n}

=1und

b^{n} = 1

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15:25 Uhr, 20.11.2016

n

ist einfach eine natürliche Zahl, mach es nicht zu kompliziert.

Also, Du hast

a^{n} = 1

und

b^{m} = 1

, wobei

n

und

m

im Allgemeinen verschieden sind.
Ich behaupte:

(a b^{- 1})^{n m} = 1

. Kannst Du es zeigen?

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15:32 Uhr, 20.11.2016

Ich behaupte: (ab−1)nm=1. Kannst Du es zeigen?

Angenommen die 0 gehört zu N.
So gilt im allgmeinen das eine Zahl^0= 1 ergibt.
Somit muss auch (ab^(−1))^(n*m)=1 gelten, denn

m \cdot n = 0

da, da

m

oder

n = 0

sind.
Korrekt?

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15:33 Uhr, 20.11.2016

"Angenommen die 0 gehört zu N."

Tut sie nicht. Zumindest in diesem Fall nicht. Ordnung ist immer größer 0.

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15:35 Uhr, 20.11.2016

Dann kann ich es nicht zeigen, leider.

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15:36 Uhr, 20.11.2016

Was ist denn eine abelsche Gruppe? Das musst Du auch nutzen.
Und nach eine Minute zu sagen "ich kann es nicht" ist zu billig. Streng Dich an!

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15:42 Uhr, 20.11.2016

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe in welcher das Kommutativgesetz herrscht,(

a \cdot b = b \cdot a)

. Wenn

n

und

m

eine natürliche Zahl sind, dann besteht doch nur die Möglichkeit das

a, b = 1

sind?

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17:05 Uhr, 20.11.2016

Nein, leider ist Deine Vermutung falsch.

n

und

m

sind normalerweise

> 1

. Ordnung

1

hat nur die Einheit der Gruppe.

Du hast:

a, b

haben endliche Ordnung =>

\exists n, m > 0

, so dass

a^{n} = 1

und

b^{m} = 1

.
Aus

b^{m} = 1

folgt

b^{- m} = 1

und dann

(a b^{- 1})^{n m} = a^{n m} (b^{- n m})

, weil die Gruppe abelsch ist.
Es bleibt zu zeigen:

a^{n m} = 1 = b^{- n m}

. Schaffst Du zumindest das?

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19:10 Uhr, 20.11.2016

Nein.

BulettenJoergi aktiv_icon

20:36 Uhr, 20.11.2016

Und wie würde ich, dass beweisen wenn wir die endliche Ordnung eines Elementes als

| < a > |

definiert haben. Also die Mächtigkeit der Erzeugten Untergruppe eines Elementes .
Wäre das dann

< a > = {a^{k} : k

Element von

Z}

und somit

| < a > | = | a^{k} | = 1

und das analog für

b

.
Und dann Beweise ich das |(ab^(-1))^(kj)|=1 ist

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20:39 Uhr, 20.11.2016

"Und wie würde ich, dass beweisen wenn wir die endliche Ordnung"

Deine Definition ist genau wie meine, da gibt's keinen Unterschied.

Der Beweis von

a^{n m} = b^{- n m} = 1

a^{n m} = (a^{n})^{m} = 1^{m} = 1

b^{- n m} = (b^{- m})^{n} = 1^{n} = 1

.
Ganz easy.

BulettenJoergi aktiv_icon

20:48 Uhr, 20.11.2016

Aber wir haben in der Vorlesung nie definiert, dass

a^{n} = 1

für

n

Element von

N

und

n > 0

.
Daher weiß ich nicht , ob ich das so machen kann . Oder kann ich einfach auf

| < a > | = a^{n} = 1

schließen

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20:55 Uhr, 20.11.2016

"Aber wir haben in der Vorlesung nie definiert"

Was habt Ihr denn definiert? Die Ordnung

o r d (a)

ist die Mächtigkeit der zyklischen Untergruppe

< a >

? Wenn diese Ordnung endlich ist, dann ist diese zyklische Gruppe endlich, also sieht sie so aus:

1, a, a^{2}, . . . a^{n - 1}

, wobei ich voraussetze, dass alle diese Elemente unterschiedlich sind. Und dann muss

a^{n} = 1

sein, denn

a^{n}

muss in dieser Untergruppe liegen und daher muss

a^{n} = a^{m}

mit

m < n

sein. Wenn

m > 0

wäre, dann würde

a^{n - m} = 1

sein, also wären die Elemente

1, a, a^{2}, . . . a^{n - 1}

nicht alle unterschiedlich, was ein Widerspruch ist. Also,

m = 0

und

a^{n} = 1

.

So was beweist man (oder zumindest erwähnt) normalerweise in der Vorlesung, schlecht, wenn das nicht gemacht wurde.

BulettenJoergi aktiv_icon

21:00 Uhr, 20.11.2016

Das ist unsere Definitin von Ordnung
Deﬁnition. (Ordnung)
Die Ordnung einer Gruppe

G

ist die Mächtigkeit

| G |

einer Menge G. Die Ordnung eines Elementes

g

Element von

G

ist die Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe

< g >

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21:03 Uhr, 20.11.2016

Diese Definition habe ich genutzt und oben bewiesen, dass

a^{n} = 1

ist, wenn

n = o r d (a)

.
Aber das müsst Ihr bestimmt nicht beweisen, ich würde das einfach als Tatsache nutzen.
Ihr könnt schreiben, dass es so in Wikipedia steht:
de.wikipedia.org/wiki/Ordnung_eines_Gruppenelementes

BulettenJoergi aktiv_icon

21:20 Uhr, 20.11.2016

Könnte ich es nicht, aber auch einfach über

| a^{k} | = 1

etc. , also wie ich es zuvor in einem Beitrag geschrieben habe beweisen .

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21:39 Uhr, 20.11.2016

Was soll denn

∣ a^{k} ∣ = 1

überhaupt bedeuten?

BulettenJoergi aktiv_icon

21:46 Uhr, 20.11.2016

| < a > | = 1

oder etwa nicht , da

< a > = {a^{k} | k

Element von

Z},

dachte ich, dass dann auch

| a^{k} | = 1

wäre.

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21:50 Uhr, 20.11.2016

Striche in

∣ a^{k} ∣

sind einfach sinnlos, sorry.

a^{k}

ist keine Gruppe, das ist ein Element.

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