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Menge komplexer Zahlen skizzieren

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Ebene, Komplexe Zahlen, Real und Imaginärteil, skizzieren

 
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-Lizzy-

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17:52 Uhr, 28.11.2015

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Hallo,

Bei uns geht es gerade darum, wie man die Menge komplexer Zahlen bestimmt. Ich habe dafür einige Aufgaben, allerdings ist mir nicht klar, wie ich die lösen soll.

1. Ma:={z:|z|<1- Re(z)}


Ich dachte mir soweit folgendes:

Wenn z=x+ iy und |z|=x2+y2
Und außerdem Re(z) =x

Dann:
x2+y2<1-x
x2+y2<(1-x)2
x2+y2<1-2x+x2
y2<1-2x
±y<1-2x


Was genau fange ich nun damit an?
Ich dachte mir, dass das nun so aussehen könnte:

Eine Parabel, die bei (o;1/2)ihren Scheitelpunkt hat und dann bei (1i;1) und (-1i;1),(3i;2) und (-3i;2) usw.
Sie läuft also an der reelen Achse gegen +

(Entschuldigung, irgendwie komme ich mit dem Zeichenprogramm hier nicht zurecht)
Kann das denn sein? Macht das überhaupt Sinn, dass da eine Parabel herauskommt bzw. ich dachte die Lösung wäre immer eine Gerade?



Bei den 2 weiteren Aufgaben ist mir noch weniger klar:

2. Mb:={z: Im( z1x+1)>0,1<|z-i|+|z|}

Ist es richtig, dass z=z1x+1 und y>0?
Aber was bedeutet 1<|z-i|+|z|?
Muss ich hier wieder mit |z|=x2+y2 arbeiten?


3. Mc:={z :|(z*a)/(ax*1)| <1} für a und |a|<1

Als Hinweis wird uns gegeben:
Zeigen Sie zuerst |1-za|2-|z-a|2-(1-|z|2)(1-|a|2) und folgern Sie daraus eine a-unabhängige Darstellung von Mc




Vielen lieben Dank für jede Hilfe!
Lg Lizzy




Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:15 Uhr, 28.11.2015

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Es ist besser, nicht mehrere Aufgaben in einem Thread zu packen. Außerdem ist bei der Angabe von M2 einiges unklar. So wie du es geschrieben hast wird es kaum der Angabe entsprechen und wieso kommt da überhaupt x vor (und nicht Re(z) stattdessen)?

Leider kann ich angefügte Geogebra-Dateien bei mir nicht betrachten, sie werden immer als leeres Arbeitsblatt dargestellt. Aber von deiner Beschreibung der Parabel (ja, es ist eine!) scheinst du sie falsch orientiert zu haben.
Du hast |z|<1-Re(z). Wenn der Realteil von z größer als 1 wird, so wird die rechte Seite negativ und der Betrag kann dann ja nicht mehr kleiner sein. Also sind die Zahlen mit Realteil <1 die interessanten und die Parabel ist nach links geöffnet.
Auch an deiner (un)Gleichung |y|<1-2x siehst du ja, dass für x>12 der Imaginärteil nicht mehr reell wäre.

R


Bool1
-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

23:54 Uhr, 28.11.2015

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Hallo Roman,

erst einmal danke für deine Antwort.
Ich dachte, ich schreibe alle Aufgaben in einen Thread, da sie ja alle dasselbe Thema behandeln.

Zu Aufgabe 1: Du hast Recht, stimmt, das habe ich völlig falsch gemacht. Habe die Parabel genau andersherum gezeichnet. Danke für die verständliche Antwort.

Zu Aufgabe 2: Entschuldigung, das ist ein Schreibfehler, da hast du Recht: das x ist eigentlich ein z. Habe nun die Aufgabe nochmal als Bild angehängt.

Vielleicht könntest du mir für die Aufgaben 2 und 3 einen Tipp geben? Mir sind beide leider recht unklar...
Stimmt es, dass bei der 2ten Aufgabe z=z-1z+1 und y>0 ist?
Und was bedeutet 1<|z-i|+|z|?
Muss ich hier wieder mit |z|=x2+y2 arbeiten?

Vielen Dank für Antworten

Mathe Philip
Aufgabe 22
Antwort
Roman-22

Roman-22

04:15 Uhr, 29.11.2015

Antworten
> Stimmt es, dass bei der 2ten Aufgabe z=z-1z+1
Wie kommst du auf diese Idee?. Es steht doch Im(z-1z+1)>0
Also Im(x+iy-1x+iy+1)>0.
Wenn du nun in der Klammer mit (x+1-iy) erweiterst, kommst du auf
...=Im(x2+y2-1+i(2y)(x+1)2+y2)=2y(x+1)2+y2

> und y>0 ist?
das stimmt nun wieder. Denn in dem oben ermittelten Bruch ist der Nenner als Summe zweier Quadrate sicher 0 und somit muss nur 2y>0 oder eben y>0 gelten. Wenn y>0 ist, so ist der Nenner auch automatisch verschieden von Null, also ist alles OK.
Es handelt sich um die obere Halbebene.

> Und was bedeutet 1<|z-i|+|z|?
Eben das, was da steht. Es gibt nicht viele komplexe Zahlen, für die das nicht gilt. Aber eine kurze Strecke auf der Imaginär-Achse muss man da eben doch noch von der oberen Halbebene wegnehmen.
Stelle dir am besten den Zeiger z in der Gauß-Ebene vor und dann auch noch den Zeiger z-i, dessen Spitze um eine Einheit "unter" der Spitze von z liegt. Der Nullpunkt und die Zeigerspitzen bilden ein Dreieck, zwei Seitenlängen sind die Beträge von z-i und z und die dritte Seite, die dem Nullpunkt gegenüber liegt, hat die Länge 1. Gemäß der Dreiecksungleichung gilt daher bereits |z-i|+|z|1.
Die (In deiner Aufgabe unerwünschte) Gleichheit gilt nur, wenn das Dreieck in eine Strecke entartet und zwar, wenn z=λi ist mit 0λ1.

R

-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

14:51 Uhr, 29.11.2015

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Hallo Roman,

Okay, so macht das Sinn, vielen Dank! Habe da ganz falsch gedacht.
Wenn ich allerdings den Weg nachrechne, komme ich zwar auf
Im (x2+y2-1+i(2y)(x+1)2+y2), aber nicht auf 2y im Zähler. Stehe da gerade komplett auf dem Schlauch, entschuldigung. Warum fällt der Rest weg?


Zu: 1<|z-i|+|z|
Achso, okay. Also aus der umgekehrten Dreieckungleichung
|1-|z-i||<|z| folgt 1<|z-i|+|z|, richtig?
Und den Fall 1=|z-i|+|z| brauche ich ja nicht zu betrachten.

D.h.
da 2y(x+1)2+y2>0, muss die Menge der komplexen Zahlen im 1. und 2. Quadranten liegen, da y<0. Und x kann doch alles sein, oder?


Wenn ich 1<|z-i|+|z| habe und setze z=x+iy, dann:

1<|x+iy-i|+|x+iy|

1<|x+i(y-1)|+|x+iy|

1<x2+(y-1)2+x2+y2

1-x2+(y-1)2<x2+y2

1-2x2+(y-1)2+x2+(y-1)2<x2+y2

1-2x2+(y-1)2+x2+y2-2y+1<x2+y2

1-2x2+(y-1)2<2y-1

-2x2+(y-1)2<2(y-1)

-x2+(y-1)2<y-1

-(x2+(y-1)2)<(y-1)2

-x2-y2+2y-1<y2-2y+1

-x2<2y2-4y+2

x2<-2y2+4y-2

x2<-2(y2-2y+1)

x2<-2(y-1)2


.... Ich glaube, ich habe mich wahrscheinlich verrechnet
Muss ich das denn rechnen, also stimmt das so, oder reicht die Dreiecksungleichung?

Antwort
Roman-22

Roman-22

19:28 Uhr, 29.11.2015

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> Warum fällt der Rest weg?
Weil der "Rest" der Realteil ist und hier nur lt Angabe nur der Imaginärteil Verwendung finden soll.

R

-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

21:11 Uhr, 30.11.2015

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Okay, aber ist es denn nun notwendig für
1<|x+iy|+|z| für z=x+iy einzusetzen?


Es würde dann bei mir in etwa so aussehen:


Graph2
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:17 Uhr, 30.11.2015

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> Okay, aber ist es denn nun notwendig für
> 1<|x+i⋅y|+|z| für z=x+i⋅y einzusetzen?
Ich weiß nicht - ist das jetzt schon wieder eine neue Angabe?

Wenn du |z-i|+|z|>1 meinst, so ist die Antwort: Nein, man kann es sich auch logisch überlegen und das hab ich ja auch vorhin genau skizziert.

> Es würde dann bei mir in etwa so aussehen:
Ich sehe y=x2+1. Wo soll das herkommen?

Welche Strecke durch |z-i|+|z|>1 festgelegt, hab ich doch schon geschrieben.

R

P.S.: Übrigens - wenn du quadrierst (das ist bekanntlich keine Äquivalenzumformung) ist nicht garantiert, dass das Ungleichheitszeichen unverändert bleibt.

Denke an -3<2 und jetzt quadriere auf beiden Seiten. Und dann gehe von -1<2 aus und quadriere diese Ungleichung. Ich denke, du siehst den Unterschied.
Da stehen also, wenn Variablen im Spiel sind, jede Menge Fallunterscheidungen an.
Das kann echt mühsam werden.