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Mengenbeweis von Alexandria

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Tags: Beweis, mengen

Eleonora71 aktiv_icon

00:34 Uhr, 21.11.2014

Hellooo,

es sei

M := {n^{2} + m^{2} | n, m \in ℤ}, d . h

. die Menge aller 'Zwei-Quadrate-Summen'. Nach einer Behauptung von Diophantes von Alexandria liegt das Produkt zweier Zahlen aus

M

ebenfalls in M. Ist diese Behauptung richtig?

Tipp: Betrachten Sie jeweils für

n, m \in ℤ

das Quadrat des Betrages der komplexen Zahl

z := n + i \cdot m

.

Ich weiß nicht genau was ich zeigen soll? Zuerst

n^{2} + m^{2},

dass dann die Summe auch eine ganze Zahl ist? oder dass das Produkt zweier Zahlen auch in

M

liegt? Ich meine das Produkt zweier ganzer Zahlen liefert wieder eine ganze Zahl. Das soll ich doch zeigen?

Also

n \cdot m = a | a \in ℤ

Den Tipp mit den komplexen Zahlen weiß ich auch nicht so ganz wie ich den verwerten soll. Solche Beweise gehen normalerweise mit vollständiger Induktion, aber das war noch nicht in der Vorlesung, aber damit kann ich's machen?

Liebe Grüße zur späten Stunde,

Elena

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ledum aktiv_icon

00:59 Uhr, 21.11.2014

Hallo du sollst zeigen dass
mit

a^{2} + b^{2} \in M

und

n^{2} + m^{2} \in m

auch gilt

(a^{2} + b^{2}) \cdot (n^{2} + m^{2}) \in M

die Menge

M

besteht nur aus doppelquadraten, also

1, 3,4

liegt nicht drin aber

2 = 1^{2} + 1^{2}

und

5 = 1^{2} + 2^{2}

liegen drin

6,7,8,9

nicht aber

2 \cdot 5 = 10

liegt auch drin sagt DioPhant und er hat hier recht denn

10 = 1^{2} + 3^{2}

d . h

. für die ersten 2 Zahlen aus

M

gilt das schon mal dann muss

50 = 5 \cdot 10

auch drin liegen sagt Diophant usw.
Du musst die Definition der Menge genauer lesen , sie steht da ja in Formel und Worten
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

01:11 Uhr, 21.11.2014

Hey, wow danke für die schnelle Antwort zu dieser Zeit.
Ja ich sollte genauer lesen, und die Zahlen genau der Definition nach verwenden.

(a^{2} + b^{2}) \cdot (n^{2} + m^{2}) \in M

Aber wie gehe ich da systematisch vor? Setze ich jetzt erstmal für

1 = a = b = n = m, 2 = a = b = n = m

und schaue was passiert oder mische ich auch die Zahlen mal?

Wieso jetzt

1,3,5

nicht in

M

liegen ist mir nicht sofort klar. Nun ja wenn ich 0 einsetze für alle Variablen kommt 0 heraus.

Wenn ich 1 einsetze kommt 4 heraus
Wenn ich 2 einsetze kommt

64

heraus, das steigt dann ziemlich schnell.

ledum aktiv_icon

14:04 Uhr, 21.11.2014

Hallo
mit meinen Beispielen

2,5,10 \in M

wollte ich dir nur klarmachen um was es geht, und zeigen dass die Behauptung an kleinen Zahlen direkt gesehen werden kann.
Aber natürlich hilft dir das nichts, wenn du allgemein für Zahlen

a^{2} + b^{2}

und

n^{2} + m^{2} \in M

etwas beweisen sollst, da kann ja

a = 12345, b = 98765 m = 3456

und

n = 10^{17}

sein!
also mit Zahlen geht es nicht. der Tip mit den komplexen ganzen zahlen hilft, wenn du Produkte ausrechnest dagegen sehr
der kluge Diophant brauchte mehr Rechengeschick.
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

09:42 Uhr, 22.11.2014

Hey, also

(a^{2} + b^{2}) \cdot (n^{2} + m^{2}) \in M

Mit Definition

z = n + i \cdot m

Soll ich jetzt für a und

b

andere Variablen verwenden oder die gleichen? Ich meine

(n + i \cdot m) \cdot (n + i \cdot m) = n^{2} + 2 i m - m^{2}

wäre jetzt ein

z

Ich meine also so:

((n + i \cdot m) \cdot (n + i \cdot m) + (n + i \cdot m) \cdot (n + i \cdot m)) \cdot ((n + i \cdot m) \cdot (n + i \cdot m) + (n + i \cdot m) \cdot (n + i \cdot m))

müsste es lauten?

Oder?

Danke sehr, Elena

ledum aktiv_icon

18:44 Uhr, 22.11.2014

Hallo
natürlich sehr oder!
natürlich z_1=n+im. z_2=a+ib
jetzt berechne

{z_{1} |^{2}

und

{| z_{2} |}^{2}

und

{| z_{1} \cdot z_{2} |}^{2}

was du gemacht hast ist recht sinnlos, du musst doch dein Ziel vor Augen behalten, und wenn

a, b

nicht mehr vorkommen wie willst du dann was beweisen.
und wenn

n^{2} + m^{2}

alsso

{| z |}^{2}

nicht mehr da sind. was soll den

z^{2} + z^{2}

mit dem Problem zu tun haben.
bei Beweisen immer das Ziel vor Augen haben (dick oben auf dem Papier! und dann nicht irgendwas rechnen, sondern etwas, was mit dem Ziel zu tun hat!
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

09:29 Uhr, 24.11.2014

Hey, joa wenn man es sich jetzt so durchliest, klingt es wirklich ziemlich lächerlich, sry :-) Danke :-)!

z_{1} = n + i m

z_{2} = a + i b

Aber die Definition des Betrages ist ja:

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

wenn ich das verwende erhalte ich doch:

{| z_{1} |}^{2} = {(\sqrt{n^{2} + {(i \cdot m)}^{2}})}^{2}

und

{| z_{2} |}^{2} = {(\sqrt{a^{2} + {(i \cdot b)}^{2}})}^{2}

Zusammengefasst:

{| z_{1} |}^{2} = {(\sqrt{n^{2} + {(i \cdot m)}^{2}})}^{2} = n^{2} + {(i \cdot m)}^{2} = n^{2} - m^{2}

{| z_{2} |}^{2} = {(\sqrt{a^{2} + {(i \cdot b)}^{2}})}^{2} = a^{2} + {(i \cdot b)}^{2} = a^{2} - b^{2}

Hm und was sagt mir das jetzt?

Danke sehr! Elena

Eleonora71 aktiv_icon

22:00 Uhr, 25.11.2014

Stimmt das so was ich im Beitrag vorher ausgerechnet habe? Wie kriege ich das zu Ende?

Elena

DrBoogie aktiv_icon

07:44 Uhr, 26.11.2014

Du rechnest komplexe Beträge falsch.
Für eine Zahl

z = a + i b

gilt

∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

, da steht kein

i

mehr. Checke noch mal die Definition von

∣ z ∣

DrBoogie aktiv_icon

07:50 Uhr, 26.11.2014

Was die Aufgabe angeht, so geht sie auch komplexe Zahlen:

(m^{2} + n^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (m a - n b)^{2} + (m b + n a)^{2}

.
Aber es ist einfacher auf diese Formel zu kommen, wenn man komplexe Zahlen benutzt, denn
wenn

z = m + n i

und

w = a + b i

, dann

m a - n b = R e (w z)

und

m b + n a = I m (w z)

Eleonora71 aktiv_icon

11:09 Uhr, 26.11.2014

Ich bin aufgrund der ganzen Variablen total verwirrt und blicke da nicht mehr durch. Die Definition des Betrages war falsch, sry aber wie zeige ich das jetzt?

(a^{2} + b^{2}) \cdot (n^{2} + m^{2}) \in M

Soll ich jetzt nach den Variablen auflösen und einsetzen?

DrBoogie aktiv_icon

11:16 Uhr, 26.11.2014

Durch

(m^{2} + n^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (m a - n b)^{2} + (m b + n a)^{2}

ist alles gezeigt.
Wozu noch etwas auflösen? :-O

DrBoogie aktiv_icon

11:27 Uhr, 26.11.2014

Und hier ist die Erklärung, wie man dazu mit Hilfe der komplexen Zahlen kommt (hoffte, dass Du selber das verstehst, aber irgendwann stirbt auch die Hoffnung).

Wenn

z = m + n i

und

w = a + b i

, dann

∣ z ∣^{2} = m^{2} + n^{2}

und

∣ w ∣^{2} = a^{2} + b^{2}

, daher

∣ z ∣^{2} ∣ w ∣^{2} = (m^{2} + n^{2}) (a^{2} + b^{2})

.
Andererseits ist aber

∣ z ∣^{2} ∣ w ∣^{2} = ∣ z w ∣^{2} = R e (z w)^{2} + I m (z w)^{2}

- die Darstellung als Summe von zwei Quadraten. Es bleibt nur

z w

zu berechnen:

z w = (m + n i) (a + b i) = m a - n b + (m b + n a) i

.
Damit haben

(m^{2} + n^{2}) (a^{2} + b^{2}) = ∣ z ∣^{2} ∣ w ∣^{2} = R e (z w)^{2} + I m (z w)^{2} = (m a - n b)^{2} + (m b + n a)^{2}

.

Aber auf die Formel

(m^{2} + n^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (m a - n b)^{2} + (m b + n a)^{2}

kann man auch ohne komplexe Zahlen kommen, genau das hatte Diophantos gemacht, 1800 Jahre bevor komplexe Zahlen erfunden wurden.

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