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Meßbare Funktionen und Integralgleichheit

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Husteguzel aktiv_icon

20:07 Uhr, 18.05.2017

Servus,

folgende Aufgabe:

f, g : X \to [0, \infty]

seien meßbar bezüglich eines Maßes

μ

auf X und es gelte f=g fast überall bezüglich

μ

. Zeigen Sie:

\int f d μ = \int g d μ

Um es vorweg zu nehmen, der Übergang von Messbarkeit und Maßen auf Integrale ist mir nicht ganz klar geworden.

Gerüchten zufolge soll der Satz über monotone Konvergenz von Beppo Levi hilfreich sein diese Aufgabe zu lösen. Den Satz haben wir so eingeführt:

Sei X eine Menge und

μ

ein Maß auf X. Weiter sei

f_{k} : X \to [0, \infty]

eine

μ

-messbare nicht negative monoton wachsende Folge von Funktionen. Dann gilt:

\int lim_{k \to \infty} f_{k} d μ = lim_{k \to \infty} \int f_{k} d μ

Wie der Satz mir helfen soll ist mir aber erstmal nicht klar.

Wir hatten auch noch das Lemma von Fatou, wobei ich hier auch erstmal nicht weiß wie das helfen würde:
Sei

f_{k} : X \to [0, \infty]

eine Folge

μ

-messbarer Funktionen. Dann gilt:

\int lim_{k \to \infty} i n f f_{k} d μ \leq lim_{k \to \infty} i n f \int f_{k} d μ

Muss ich zunächst einmal zeigen, dass f und g

μ

-integrierbar sind oder ist das egal? Gefühlt zielt fast alles aus der Vorlesung immer nur auf die Integrierbarkeit ab.

Die Aufgabe sagt außerdem f=g fast überall. Wenn es fast überall gleich ist kann ich die Stellen welche nicht gleich sind vernachlässigen?

Mir ist übrigens die Indikator-Funktion bekannt falls diese hier irgendwie hilft. Ist sehr oft in der Vorlesung aufgetaucht deshalb dachte ich die bringt vielleicht was.

Grüße
Husteguzel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:36 Uhr, 19.05.2017

Du musst nur zeigen:

f = 0

fast überall =>

\int f = 0

.
Je nach Definition (es gibt verschiedene äquivalente Definitionen von Lebesgue-Integrierbarkeit) kann es sogar direkt aus der Definition hergeleitet werden.
Aber auf jeden Fall aus dem Satz für monotone Konvergenz, wenn man die Folge

f_{n}

so konstruiert:

f_{n} = f \cdot χ_{f \leq n}

(ich betrachte nur nichtnegative

f

, denn jede

f

ist die Summe von

f^{+}

und

f^{-}

, und es reicht, die Aussage nur für den positiven Teil zu zeigen).
Dann

f_{n} \to f

monoton und

f_{n}

sind beschränkt, daher

\int f_{n} \leq n \cdot μ ({f_{n} \neq 0}) = 0

tobit aktiv_icon

12:08 Uhr, 19.05.2017

Hallo zusammen!

@ Husteguzel

Tut mir leid, diesmal habe ich vermutlich keine Zeit, dir zu helfen.

@ DrBoogie

Zwei Einwände:

1. Beachte, dass es für das Zurückführen des allgemeinen Falles auf den Spezialfall

g = 0

nicht möglich ist, die Differenz

f - g

zu bilden, da f und g die Werte

+ \infty

annehmen können.
Selbst wenn sie das nicht tun, müssen f und g nicht integrierbar sein, so dass wir das Integral von

f - g

im Allgemeinen nicht bilden können.
(Aber in der Tat gibt es eine andere Möglichkeit, den allgemeinen Fall auf den Spezialfall

g = 0

zurückzuführen.)

2. Deine Behauptung, deine Folge

(f_{n})_{n \in ℕ}

konvergiere gegen

f

, ist im Allgemeinen falsch. Die Konvergenz funktioniert nur an Stellen

x \in X

, für die

f (x) \neq \infty

ist.

Der Nachweis der Behauptung im Spezialfall

g = 0

geht übrigens viel leichter ohne explizite Nutzung des Satzes von der monotonen Konvergenz, wenn man schon die Monotonie des Integrals und die Gleichung

\int α \cdot h d μ = α \cdot \int h d μ

für alle

α \in [0, + \infty]

und alle

μ

-messbaren Funktionen

h : X \to [0, + \infty]

kennt und die Abschätzung

f \leq + \infty \cdot 1_{[f \neq 0]}

nutzt:

\int f d μ \leq \int + \infty \cdot 1_{[f \neq 0]} d μ = + \infty \cdot \int 1_{[f \neq 0]} d μ = + \infty \cdot μ ([f \neq 0]) = + \infty \cdot 0 = 0

.

Viele Grüße
Tobias

DrBoogie aktiv_icon

12:11 Uhr, 19.05.2017

Was ist das denn:

\infty \cdot 0 = 0

? :-O
Ist es noch Mathematik?
So kann man doch gar nicht rechnen.

tobit aktiv_icon

12:15 Uhr, 19.05.2017

\infty \cdot 0 := 0

ist die übliche Definition im Rahmen der Maß- und Integrationstheorie.

Sie wird auch in Husteguzels Vorlesung verwendet: Siehe www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/d7a332ce0948f98211fba54c3bbf47f6.PNG (drittes Bild im Ausgangspost von www.onlinemathe.de/forum/Messbarkeit-von-Mengen-und-Funktionen ).

DrBoogie aktiv_icon

12:17 Uhr, 19.05.2017

Wenn

\infty

tatsächlich als Wert zugelassen ist, muss man eine Extrarunde drehen, das stimmt.

Gibt's übrigens einen vernünftigen Grund, überhaupt diese

\infty

zuzulassen?
Irgendwas gab da, hab wohl vergessen.

DrBoogie aktiv_icon

12:19 Uhr, 19.05.2017

"ist die übliche Definition im Rahmen der Maß- und Integrationstheorie"

Wofür soll das überhaupt gut sein?
Es ist doch nicht kompatibel mit Grenzwertregeln.

tobit aktiv_icon

12:56 Uhr, 19.05.2017

Die Frage, ob Definitionen sinnvoll sind, ist natürlich keine logische, sondern eine Geschmacks-Frage.

Ich persönlich finde die Definitionen hier sinnvoll:

Schon bei Maßen lässt man den Wert

+ \infty

zu.
Anderenfalls wären viele wichtige Beispiele keine Maße mehr (z.B. Zählmaße auf unendlichen Mengen, Lebesgue-Maß).

Auch bei Integralen nichtnegativer messbarer Funktionen lässt man den Wert

+ \infty

zu.
Sonst könnte man gar nicht das Integral beliebiger nichtnegativer messbarer Funktionen bilden.

Warum sollte man nun bei nichtnegativen messbaren Funktionen den Wert

+ \infty

verbieten?
Einen Grund für ein solches Verbot sehe ich nicht.
Gründe gegen ein solches Verbot sind z.B.:
- Gewisse Doppelintegrale nichtnegativer messbarer Funktionen wären nicht mehr zulässig.
- "Mein" obiger Beweis würde nicht mehr funktionieren.

Natürlich muss man sich bei jeder Rechenregel einmal kurz Gedanken machen, ob sie auch für

α = + \infty

gilt.
Wenn ja, kann man sie fortan immer verwenden, was natürlich äußerst praktisch ist!
Wenn nein, ist dies auch kein Beinbruch, solange man nicht fälschlicherweise versucht, diese ungültige Regel anzuwenden.
Wenn die Definition Festsetzung

+ \infty \cdot 0 := 0

nicht kompatibel zu gewissen Grenzwertsätzen ist, heißt dies eben nur, dass die entsprechenden (verallgemeinerten) Grenzwertsätze nicht gelten.

Die Rechenregel

\int α \cdot h d μ = α \cdot \int h d μ

für alle

μ

-messbaren Funktionen

h : X \to [0, + \infty]

und alle

α \in [0, + \infty]

, die ich für "meinen" Beweis wie gesagt voraussetze, gilt z.B. insbesondere für

α = + \infty

.
Hätte man nicht

+ \infty \cdot 0 := 0

definiert, wäre diese Rechenregel hingegen nicht korrekt.
Diese Rechenregel ist also ein Beispiel dafür, dass die Festsetzung

+ \infty \cdot 0 := 0

in der Maß- und Integrationstheorie Vorteile bringt.

tobit aktiv_icon

13:08 Uhr, 19.05.2017

Übrigens schreibt Bauer in seinem "Maß- und Integrationstheorie"-Buch:

"Nicht generell üblich und für die Maßtheorie typisch ist die zusätzliche Vereinbarung

0 \cdot (\pm \infty) = (\pm \infty) \cdot 0 = 0

, [...]".

DrBoogie aktiv_icon

13:11 Uhr, 19.05.2017

"Schon bei Maßen lässt man den Wert zu."

Die Frage ist, was es denn bedeutet "zulassen".
Bei dem (uneigentlichen) Riemann-Integrall kann man auch schreiben:

\int f = + \infty

.
Damit ist nur gemeint, dass der Grenzwert gegen

+ \infty

geht.
Aber man rechnet in der Riemann-Theorie nicht mit Unendlichkeiten.

Und ich muss sagen, ich habe immer noch Bauchschmerzen bei den Berechnungen mit Unendlichkeit. Ich verstehe, dass es sauber ist, man muss nur aufpassen, welche Regeln im "erweiterten" Bereich gelten und welche nicht. (Z.B. gilt

lim a_{n} b_{n} = lim a_{n} \cdot lim b_{n}

nicht mehr). Aber ich finde es einfach unschön.
Aber gut, Geschmacksache.

Danke für die Erklärung.

tobit aktiv_icon

13:25 Uhr, 19.05.2017

" "Schon bei Maßen lässt man den Wert

+ \infty

zu."
Die Frage ist, was es denn bedeutet "zulassen". "

Damit meine ich hier, dass ein Maß

μ

als spezielle Abbildung nach

[0, + \infty]

und nicht nach

[0, + \infty)

definiert ist (und somit den Wert

+ \infty

annehmen kann).

Ich gebe dir absolut Recht, dass in der Riemann-Theorie

+ \infty

ganz anders behandelt wird als in der Maß- und Integrationstheorie.

" Z.B. gilt limanbn=liman⋅limbn nicht mehr "

Naja, für alle konvergenten Folgen

(a_{n})_{n \in ℕ}

und

(b_{n})_{n \in ℕ}

reeller Zahlen gilt die Rechenregel unabhängig davon, ob man

+ \infty \cdot 0 = 0

setzt oder nicht.

Ist z.B.

(a_{n})_{n \in ℕ}

hingegen eine bestimmt gegen

+ \infty

divergente Folge reeller Zahlen und

(b_{n})_{n \in ℕ}

eine Nullfolge reeller Zahlen, so ist die "Rechenregel limanbn=liman⋅limbn " eben in diesem Fall bei Festsetzung

+ \infty \cdot 0 = 0

ungültig, während sie bei Unterlassen dieser Festsetzung schlicht nicht einmal eine sinnvolle Aussage darstellt.

So oder so: limanbn=liman⋅limbn ist für diese Situation (

lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty

und

lim_{n \to ℕ} b_{n} = 0

) nicht anwendbar.
Man muss also so oder so aufpassen, welche Regeln anwendbar sind und welche Regeln nicht.
(Das finde ich aber sowieso selbstverständlich.)

Ich sehe daher keine Unschönheit, die durch die Festsetzung

+ \infty \cdot 0 = 0

entsteht, akzeptiere aber natürlich von meinem Geschmack abweichende Geschmäcker.

Husteguzel aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.05.2017

Die Frage welche ich mir jetzt stelle ist aber ob der Weg mit f bzw. g = 0 nun die richtige Lösung ist, oder ob es sich dabei nur um einen Spezialfall handelt? Ich würde ja erwarten, dass die Funktionen f und g beliebig sein müssen. Mit der von tobit gegeben Formel scheint es ja für ALLE

μ

-messbaren Funktionen h zu gelten. Demnach könnte ich aber einfach jedes Integral über eine

μ

-messbare Funktion zu null diskutieren? Das fände ich ein wenig komisch.

tobit aktiv_icon

17:49 Uhr, 19.05.2017

" Die Frage welche ich mir jetzt stelle ist aber ob der Weg mit f bzw. g = 0 nun die richtige Lösung ist, oder ob es sich dabei nur um einen Spezialfall handelt? Ich würde ja erwarten, dass die Funktionen f und g beliebig sein müssen. "

Du hast völlig Recht, dass am Ende ein Beweis für beliebig vorgegebene

μ

-messbare Funktionen

f, g : X \to [0, \infty]

gegeben werden soll.
Eine Möglichkeit dazu ist, wie von DrBoogie vorgeschlagen, diesen allgemeinen Fall auf den Spezialfall

g = 0

zurückzuführen.
(Ich schreibe gleich dazu eine separate Antwort.)

" Mit der von tobit gegeben Formel scheint es ja für ALLE μ-messbaren Funktionen h zu gelten. Demnach könnte ich aber einfach jedes Integral über eine μ-messbare Funktion zu null diskutieren? Das fände ich ein wenig komisch. "

Das wäre in der Tat Blödsinn. Ich konnte

\int f d μ

aber nur deshalb zu Null diskutieren, weil ich angenommen habe, dass

μ ([f \neq 0]) = 0

gilt, also dass

f

μ

-fast-überall den Wert 0 annimmt.
Eine beliebige

μ

-messbare Funktion nimmt hingegen natürlich im Allgemeinen nicht

μ

-fast-überall den Wert 0 an.

tobit aktiv_icon

18:04 Uhr, 19.05.2017

Nun eine Skizze meines Vorschlages zum Zurückführen des allgemeinen Falles auf den Spezialfall

g = 0

:

Überlege dir

f = f \cdot 1_{[f = g]} + f \cdot 1_{[f \neq g]}

.

Damit folgt aus der Linearität des Integrals unter Beachtung der Nichtnegativität und

μ

-Messbarkeit der Funktionen

f \cdot 1_{[f = g]}

und

f \cdot 1_{[f \neq g]}

\int f d μ = \int f \cdot 1_{[f = g]} d μ + \int f \cdot 1_{[f \neq g]} d μ

. (*)

Analog erhalten wir

\int g d μ = \int g \cdot 1_{[f = g]} d μ + \int g \cdot 1_{[f \neq g]} d μ

. (**)

Um nun

\int f d μ = \int g d μ

einzusehen, genügt es somit die Übereinstimmung der rechten Seiten der Gleichheiten (*) und (**) einzusehen.

Wegen

f \cdot 1_{[f = g]} = g \cdot 1_{[f = g]}

stimmen die beiden ersten Summanden der rechten Seiten von (*) und (**) überein.

Die zweiten Summanden der rechten Seiten von (*) und (**) stimmen auch überein; und zwar sind beide

= 0

nach dem Spezialfall:
Schließlich ist

[(f \cdot 1_{[f \neq g]}) \neq 0] \subseteq [f \neq g]

und damit wegen

μ ([f \neq g]) = 0

auch

μ ([(f \cdot 1_{[f \neq g]}) \neq 0]) = 0

.
Analog auch

μ ([(g \cdot 1_{[f \neq g]}) \neq 0]) = 0

tobit aktiv_icon

18:15 Uhr, 19.05.2017

Doch noch zu den Fragen aus dem Ausgangsposting:

" Um es vorweg zu nehmen, der Übergang von Messbarkeit und Maßen auf Integrale ist mir nicht ganz klar geworden. "

Geht es um die formale Definition, an der etwas unklar ist? Dann müsstest du eure Definition mal posten.
Oder geht es eher darum, dass die "Anschauung" des Integrals nicht deutlich wurde?

" Muss ich zunächst einmal zeigen, dass f und g μ-integrierbar sind oder ist das egal? "

Die Funktionen

f

und

g

müssen gar nicht

μ

-integrierbar sein.
Sie sind aber als nichtnegativ vorausgesetzt; somit macht es Sinn, die Integrale von

f

bzw.

g

bezüglich

μ

zu bilden, wobei der Wert

+ \infty

nicht ausgeschlossen ist.

" Die Aufgabe sagt außerdem f=g fast überall. Wenn es fast überall gleich ist kann ich die Stellen welche nicht gleich sind vernachlässigen? "

Genau das ist die Anschauung hinter der zu zeigenden Aussage.
Einen Beweis ersetzt diese Anschauung natürlich nicht.

Husteguzel aktiv_icon

19:07 Uhr, 19.05.2017

Ist

μ ([f \neq g]) = 0

weil

f \neq g

eben vernachlässigbar klein ist?

Das ist jetzt aber dennoch nur ein Spezialfall und keine allgemeine Lösung?

"" Um es vorweg zu nehmen, der Übergang von Messbarkeit und Maßen auf Integrale ist mir nicht ganz klar geworden. "

Geht es um die formale Definition, an der etwas unklar ist? Dann müsstest du eure Definition mal posten.
Oder geht es eher darum, dass die "Anschauung" des Integrals nicht deutlich wurde?"

Letzteres, mir ist nicht klar wieso wir das machen und wo der Zusammenhang besteht.

tobit aktiv_icon

19:14 Uhr, 19.05.2017

" Ist μ([f≠g])=0 weil f≠g eben vernachlässigbar klein ist? "

Die Gültigkeit von

μ ([f \neq g]) = 0

sollte sich unmittelbar aus der Voraussetzung "f=g fast überall bezüglich

μ

" ergeben.
Wie habt ihr letztere Eigenschaft genau definiert?

" Das ist jetzt aber dennoch nur ein Spezialfall und keine allgemeine Lösung? "

Eigentlich habe ich jetzt schon eine allgemeine Lösung skizziert:
In meinem Beitrag um 18:04 Uhr, 19.05.2017 habe ich den allgemeinen Fall auf den Spezialfall

g = 0

zurückgeführt.
Diesen Spezialfall wiederum habe ich in meinem 12:08 Uhr, 19.05.2017 im letzten Abschnitt bewiesen.

Zur Anschauung des Maßintegrals schreibe ich gleich eine separate Antwort.

tobit aktiv_icon

19:40 Uhr, 19.05.2017

Zur (unpräzisen) Motivation des Maßintegrals:

Betrachten wir zunächst den Spezialfall

f = c \cdot 1_{A}

für eine Konstante

c \in [0, \infty]

und eine

μ

-messbare Menge

A

.

Wir wollen uns das Integral von f als die "Fläche unter dem Graphen von

f

bis zur x-Achse" vorstellen.
(Beachte, dass die x-Achse hier im Allgemeinen nicht für die reellen Zahlen steht, sondern für eine beliebige Menge

X

. Die y-Achse hingegen ist gegeben durch

[0, \infty]

.)

Die Idee zur Ermittlung dieser "Fläche" ist nun: "Höhe c" multipliziert mit "Breite/Maß

μ (A)

der Menge

A

".

Also setzt man:

\int c \cdot 1_{A} d μ = c \cdot μ (A)

.

Im Spezialfall

X = ℝ

μ

das Lebesgue-Maß auf

ℝ

A = [a, b]

für gewisse reelle Zahlen

a, b \in ℝ

mit

a < b

und

c \in [0, \infty)

entspricht damit das (Maß-)Integral

\int c \cdot 1_{A} d μ

einfach dem Riemann-Integral

\int_{a}^{b} c \cdot 1_{A} (x) d x

.
(Das Riemann-Integral erscheint dir im Gegensatz zum Maßintegral sinnvoll?)

Schon diese spezielle Maßintegrals-Festsetzung für den Spezialfall

f = c \cdot 1_{A}

ist jedoch wesentlich allgemeiner als das Riemann-Integral solcher Funktionen:
Es muss eben nicht

X = ℝ

μ

das Lebesgue-Maß auf

ℝ

und

A = [a, b]

gewählt werden.
(Es hat sich eben bewährt, auch in dem allgemeineren Setting diese Festsetzung analog zu treffen, z.B. für Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.)

Der Rest der Maßintegral-Definition ist im Grunde nur eine Ausdehnung des Maßintegrals auf allgemeinere Funktionen statt nur auf Funktionen der Form

f = c \cdot 1_{A}

.
Wenn ich darauf auch im einzelnen eingehen soll, gib mir bitte Bescheid (am besten mit der genauen Formulierung eurer Definition).

Husteguzel aktiv_icon

20:40 Uhr, 19.05.2017

Zu f=g fast überall bezüglich

μ

habe ich in unserem Skript nur folgendes gefunden:

Def 1.5 (

μ

-fast überall Gültigkeit)
Sei

μ

ein Maß auf einer Menge X
Eine Aussage gilt

μ

-fast überall, falls es eine

μ

-messbare Menge A gibt, sodass die Aussage

\forall x \in A

gilt und

μ (X \ A) = 0

ist.

Wobei ich jetzt A in meinem Fall wohl durch eine Funktion ersetzen muss bzw. A die Menge der Funktionswerte ist?

Deine Erklärung zum Zusammenhang der Maße und den Integralen ist verständlich. Manchmal benötige ich die mathematischen Dinge eben nochmal in normalem deutsch um sie zu verstehen :-D)

tobit aktiv_icon

21:11 Uhr, 19.05.2017

" Zu f=g fast überall bezüglich μ habe ich in unserem Skript nur folgendes gefunden:

Def 1.5 (μ-fast überall Gültigkeit)
Sei μ ein Maß auf einer Menge X
Eine Aussage gilt μ-fast überall, falls es eine μ-messbare Menge A gibt, sodass die Aussage ∀x∈A gilt und μ(X\A)=0 ist. "

Gut, genau diese Definition benötigen wir hier.

" Wobei ich jetzt A in meinem Fall wohl durch eine Funktion ersetzen muss bzw. A die Menge der Funktionswerte ist? "

Nein.
Es geht hier um die Aussage(form)

f (x) = g (x)

, die gemäß Voraussetzung

μ

-fast-überall gilt.
Es existiert also eine

μ

-messbare Menge

A

mit

f (x) = g (x)

für alle

x \in A

und

μ (X \ A) = 0

.

Möglichkeit 1:

Ersetze in meiner Beweisskizze überall

[f = g]

durch

A

und

[f \neq g]

durch

X \ A

.
Wenn ich nichts übersehen habe, sollte die Beweis-Skizze dann ansonsten wörtlich genau wie ursprünglich formuliert funktionieren.

Möglichkeit 2:

Wir überlegen uns

μ ([f \neq g]) = 0

:
Wegen

[f = g] \supseteq A

gilt

[f \neq g] = X \ [f = g] \subseteq X \ A

.
Also impliziert

μ (X \ A) = 0

auch

μ ([f \neq g]) = 0

Husteguzel aktiv_icon

12:35 Uhr, 20.05.2017

Achso, ja dann ist die Aussage klar wenn

[f \neq g] = X \ A

ist. Das wären dann wirklich nur die Definitionen und der Trick mit dem Spezialfall.

Danke das du dir erneut die Zeit genommen hast mir zu helfen. Es war für mein Verständnis wieder sehr förderlich.

Grüße
Husteguzel

tobit aktiv_icon

12:43 Uhr, 20.05.2017

Es gilt NICHT unbedingt

X \ A = [f \neq g]

, sondern nur

X \ A \supseteq [f \neq g]

Husteguzel aktiv_icon

12:48 Uhr, 20.05.2017

Stimmt, da war ich zu voreilig.

Interesse halber:

Ist

[f \neq g] \subset X \ A

das gleiche wie

X \ A \supset [f \neq g]

? Ich bin immer davon ausgegangen die Ausdrücke sind äquivalent.

tobit aktiv_icon

12:51 Uhr, 20.05.2017

" Ist [f≠g]⊂X\A das gleiche wie X\A⊃[f≠g]? Ich bin immer davon ausgegangen die Ausdrücke sind äquivalent. "

Ja, X\A⊃[f≠g] ist nur eine andere Schreibweise für [f≠g]⊂X\A, also für die Aussage
"Die Menge

[f \neq g]

ist eine Teilmenge der Menge

X \ A

.".

Husteguzel aktiv_icon

13:19 Uhr, 20.05.2017

Sehr gut, nochmal vielen Dank.

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