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Mögliche Paarungen beim Tennis

Universität / Fachhochschule

Kombinatorische Optimierung

Tags: Kombinatorische Optimierung

JankAle aktiv_icon

13:52 Uhr, 13.10.2013

An einem Tennisturnier nehmen 12 Spieler teil. Wie viele verschiedene Paarungen sind
für die erste Runde möglich?

Wie löse ich das Problem elegant, ohne dass die Kombinationen Spieler 1 & 12 und Spieler 12 & 1 als unterschiedlich gelten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

el holgazán aktiv_icon

14:17 Uhr, 13.10.2013

Hi

Nimm Spieler 1 und überlege dir, wieviele Paarungen für diesen Spieler möglich sind.
Dann nimm Spieler 2 und überlege dir das selbe; denke aber daran, dass die Paarung mit Spieler 1 schon gezählt wurde - also zählst du sie nicht mehr.
Dann nimmst du Spieler 3.

Spätestens hier solltest du ein Muster erkennen.

Was auch helfen könnte ist, die Spieler graphisch als Punkte auf einem Kreis darzustellen; und dann für Paarungen zwischen den Punkten Linien zu ziehen. Beginne bei einem Spieler und zeichne alle Paarungen, dann machst du das selbe für den Punkt nebenan. Das ist vom Prinzip her das selbe wie oben, bloss halt graphisch.

JankAle aktiv_icon

15:11 Uhr, 13.10.2013

Ist die Lösung also

11 * 9 * 7 * 5 * 3 * 1 = 10395

Ma-Ma aktiv_icon

16:32 Uhr, 13.10.2013

Leider falsch.

Nochmal von vorn:
Nimm Spieler 1 und überlege dir, wieviele Paarungen für diesen Spieler möglich sind.
Dann nimm Spieler 2 und überlege dir das selbe; denke aber daran, dass die Paarung mit Spieler 1 schon gezählt wurde - also zählst du sie nicht mehr.
Dann nimmst du Spieler 3.

Spätestens hier solltest du ein Muster erkennen.

Welches Muster hast Du?

(Anderer Weg: Binomialkoeffizient nutzen.)

pwmeyer aktiv_icon

19:52 Uhr, 13.10.2013

Hallo,

vielleicht verstehe ich die Aufgabe falsch, halte aber obige Lösung für richtig:

Stelle alle

12

in eine Reihe auf und teile jeweils 2 als Spielpaar ab - also

(p_{1}, p_{2}), (p_{3}, p_{4}), ...

.

Mögliche Anordnungen:

12!

Weil es nicht auf die Reihenfolge der Paare ankommt (Aufgabe so gemeint?): Division durch

6!

Weil es nicht auf die Reihenfolge der Personen in einem Paar ankommt: Division durch

2^{6}

.

Also:

\frac{12!}{6! \cdot 2^{6}} = 11 \cdot 9 \cdot \cdot 3 \cdot 1 = 10395

Gruß pwm

JankAle aktiv_icon

07:09 Uhr, 14.10.2013

Wieso ist mein Ergebnis falsch?

Für Spieler 1 gibt es 11 Möglichkeiten, für Spieler 2 gibt es 9 usw.
Das Muster, das ich erkannt habe, war, dass es immer ungerade Zahlen sind.
Die habe ich dann multipliziert.

pwmeyer aktiv_icon

07:53 Uhr, 14.10.2013

Hallo,

ich sage ja, dass Dein Ergebnis richtig ist - allerdings kommt es gerade in der Kombinatorik auch auf eine klare Begründung an - was Du ja auch daran erkennst, dass MaMa Dein Ergebnis als falsch einstuft.

Gruß pwm

Ma-Ma aktiv_icon

17:39 Uhr, 14.10.2013

Ich interpretiere die Aufgabe so:
Wieviel Paarungen gibt es, wenn jeder gegen jeden spielt (und 1 Tennisfeld zur Verfügung steht).

Beispiel mit 5 Spielern.

12, 13, 14, 15

23, 24, 25

34, 35

45

4 + 3 + 2 + 1 = 10

Möglichkeiten

Das gleiche erhält man auch mit der graphischen Lösung.

Berechnung mit Binomialkoeffizienten:

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) = 10

rhermes aktiv_icon

19:31 Uhr, 14.10.2013

Hallo,
ich sehe das auch so wie Ma-Ma. Jeder der

12

Spieler kann

11

Partner wählen. Dann muss man durch

2

teilen, damit die Paare genau einmal gezählt werden. Das Ergebis ist dann

12 \cdot 11 / 2

oder mit Binimialkoeffizienten

(\binom{12}{2})

Bummerang

09:28 Uhr, 15.10.2013

Hallo Ma-Ma und rhermes,

an welcher Stelle euer Berechnungen ist die Einschränkung mit eingeflossen, dass es sich um die Ansetzungen der ersten Runde handelt, also jeder der Spieler nur genau einmal spielt? Es sollte ja insbesondere bei dem Beispiel mit den 5 Spielern etwas schwer fallen, alle Spieler genau einmal spielen zu lassen?

Wenn ich die Lösungen von el holgazán, JankAle und pwmeyer mal auf 4 Spieler anwende, dann wären das

3 \cdot 1 = 3

verschiedene Erstrunden-Ansetzungen. die kann man ja mal versuchen aufzuzählen:

1 - 2

3 - 4

1 - 3

2 - 4

1 - 4

2 - 3

Mehr als diese 3 finde ich im Moment tatsächlich nicht. Nach eurer Lösung sollten es aber

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6

Möglichkeiten sein. Bitte ergänzt doch noch die eurer Meinung nach fehlenden 3 Erstrunden-Ansetzungen, damit eure Lösung hier an einem Beispiel bestätigt ist!

Ma-Ma aktiv_icon

11:34 Uhr, 15.10.2013

Hallo Bummerang, vielen Dank für Deine Antwort.

Die Idee eine "Doppel-Paarung" als 1 Paarung anzusehen, hatte ich auch.
Und bin ebenso auf 3 Möglichkeiten gekommen.

Eine Einschränkung, dass jeder Spieler nur genau

1 x

spielt, ist nicht erwähnt.
Deshalb war meine Interpretation, jeder gegen jeden

. .

.

Nun ja, der TE hat sich nicht wieder gemeldet, so werden wir wohl nicht erfahren, wie diese Aufgabe genau gemeint ist

...

.

LG Ma-Ma

Bummerang

12:18 Uhr, 15.10.2013

Hallo Ma-Ma,

"Nun ja, der TE hat sich nicht wieder gemeldet, ..."

Stimmt, weil er die Lösung bereits hatte, wie im pwmeyer bestätigt hat.

"... so werden wir wohl nicht erfahren, wie diese Aufgabe genau gemeint ist

. .

. ."

Dir fällt es offensichtlich schwer, Fehler einzugestehen, stimmts? Ist

m . W

. nicht das erste Mal, dass Du nach einem Fehler darauf bestehst, dass es kein Fehler war. Es ist doch offensichtlich, wie die Aufgabe gemeint war:

"An einem Tennisturnier nehmen

12

Spieler teil. Wie viele verschiedene Paarungen sind für die erste Runde möglich?"

Man muss schon ganz fest die Augen verschließen, wenn man das "erste Runde" überlesen will, insbesondere dann, wenn man noch im Post, auf den man antwortet, genau darauf hingewiesen wurde...

PS: Was wolltest Du hiermit ausdrücken:

"Die Idee eine "Doppel-Paarung" als 1 Paarung anzusehen, hatte ich auch. Und bin ebenso auf 3 Möglichkeiten gekommen."

Und auf welche "3 Möglichkeiten" bist Du "ebenso" gekommen? Wer von denen, die eine Lösung oder einen Lösungsansatz gepostet haben (el holgazán, JankAle oder pwmeyer) hatte was mit "3 Möglichkeiten"? Oder bezieht sich das "3 Möglichkeiten" auf mein Beispiel mit 4 Spielern? Aber da habe ich keine "'Doppel-Paarung' als 1 Paarung" angesehen, ich habe einfach die zwei möglichen Ansetzungen für die erste Runde aufgeschrieben und das für jede der drei Möglichkeiten.

PPS: Man kann sich das Ganze auch anders herleiten. Dazu nimmt man sich

2 \cdot k

Spieler, diese bieten

a_{2 \cdot k}

Möglichkeiten für Ansetzungen der ersten Runde. Nimmt man 2 Spieler hinzu (es sind jetzt

2 \cdot k + 2

Spieler), dann kann man einen der Spieler mit jedem der anderen

2 \cdot k + 1

Spieler in der ersten Runde spielen lassen, die restlichen

2 \cdot k

Spieler können unabhängig davon in

a_{2 \cdot k}

Möglichkeiten der Ansetzung gegeneinander spielen. wegen der Unabhängigkeit gibt es also:

a_{2 \cdot k + 2} = (2 \cdot k + 1) \cdot a_{2 \cdot k}

Möglichkeiten. Wenn man sich nun noch überlegt, dass es bei 2 Spielern nur eine Möglichkeit für eine Ansetzung der ersten Runde gibt, folgt:

a_{2} = a_{2 \cdot 1} = 1

a_{4} = a_{2 \cdot 1 + 2} = (2 \cdot 1 + 1) \cdot a_{2} = 3 \cdot 1

a_{6} = a_{2 \cdot 2 + 2} = (2 \cdot 2 + 1) \cdot a_{4} = 5 \cdot (3 \cdot 1)

. .

a_{12} = 11 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = \frac{12!}{6! \cdot 2^{6}}

rhermes aktiv_icon

19:02 Uhr, 15.10.2013

Hallo,

ich habe überlegt, wie viele Paare man aus den

12

Spielern bilden kann. An eine Einschränkung, dass jeder Spieler genau einmal spielen darf, habe ich dabei nicht gedacht.

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