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Monotonieverhalten rechnerisch bestimmen

Schüler Berufskolleg, 11. Klassenstufe

Tags: Monotonieverhalten, rechnerisch

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14:03 Uhr, 05.09.2010

Hallo Leute,

ich brauch mal eure Hilfe beim rechnerischen Bestimmen des Monotonieverhaltens.

Beispiel:

f (x) =

15x³ - 2x²

Dann erste Ableitung bestimmen. Ist dann:

f' (x) =

45x²

- 2 x

Dann Nullstellen bestimmen, um herauszufinden, wo die erste Ableitung

> 0

und wo sie

< 0

ist.

f' (x) =

45x²

- 2 x = x (45 x - 2)

x (45 x - 2) = 0 - \to x = 0

oder

x

ungefähr

0,044

.

Dann die Intervalle untersuchen. Da die Funktion

f'

stetig ist reicht es ja aus jedem der Intervalle einen Wert von

f'

zu berechnen.

Also:

f' (- 1) = 47

f' (0,01) = - 1,9955

f (1) = 43

Ergebnis:

]

-undenlich;0[ monoton wachsend

] 0; 0,44 [

monoton fallend

]

0,44;+unendlich[ monoton wachsend

Soweit alles richtig, oder?

Wie macht man das nun fix bei Funktionen wie

f (x) = x^{5} - 5 x^{4}

oder

f (x) =

2x³ +3x²

- 36 x

?

Ableitung bestimmen ist kein Problem. Beim ersten

5 x^{4} - 20

x³ und beim zweiten 6x²

+ 6 x - 36

.

Wie kann man das dann so ausklammern das man wieder fix die Nullstellen hat und dann nur noch einsetzten muss?

Weil dann muss man ja nur wieder die Werte einsetzen in die 3 Gleichungen und dann weiß man ja in welchem Intervall der Graph steigt bzw. fällt.

Danke für eure Hilfe.

MfG mentos

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

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19:07 Uhr, 05.09.2010

weiß es keiner?

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19:23 Uhr, 05.09.2010

Du brauchst nicht drängeln, entweder jemand meldet sich oder nicht ;-)

Womöglich sind einige auch abgeschreckt weil sie erstmal runterscrollen müssen um alles lesen zu können.

Was ich so beim ersten Überfliegen sagen kann ist:

Deine 1. Ableitung oben ist falsch, es müsste

f' (x) = 45 x^{2} - 4 x

lauten.
Ansonsten scheint deine allgemeine Vorgehensweise korrekt zu sein.

5 x^{4} - 20 x^{3} = 0 \Leftrightarrow 5 x^{3} (x - 4) = 0 \Leftrightarrow 5 x^{3} = 0

oder

x - 4 = 0 \Leftrightarrow . .

6 x^{2} + 6 x - 36 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow (x + 3) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow . .

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20:33 Uhr, 05.09.2010

Hast recht. Habe mich vertan.

\cdot g \cdot

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