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Neue Frage zur Streifenmethode

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Streifenmethode

Mario1993 aktiv_icon

11:58 Uhr, 28.08.2011

Hallo, ich habe eine weitere Fareg zur Streifenmethode: Und zwar soll ich den Grenzwert des Flächeninhalts, der unter der Funktion

f (x) = 2 x^{2} + x

liegt, im Intervall von 0 bis 1 errechnen. Zusätzlich soll ich am Ende der Vereinfachung auf die Summenformel

1^{2} + 2^{2} + . .

+ n^{2} = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6}

kommen, um den Grenzwert zu bestimmen. Habe zunächst eine Skizze angefertigt und das Intervall in 4 gleichgroße x-Werte geteilt

\frac{x}{n}

. Die Streifenbreite ist

\frac{1}{n}

.

Um die Untersumme nun zu errechnen habe ich folgende Formel aufgestellt:
Un

= \frac{1}{n} \cdot [f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + f (\frac{3}{n})]

= \frac{1}{n} \cdot [\frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n} + \frac{8}{n^{2}} + \frac{2}{n} + \frac{18}{n^{2}} + \frac{3}{n}]

Dann habe ich

\frac{1}{n}

ausgeklammert
Un

= \frac{1}{n} \cdot [\frac{1}{n} \cdot (\frac{2}{n} + 1 + \frac{8}{n} + 2 + \frac{18}{n} + 3)]

Komme nun aber nicht mehr weiter...ich muss ja auf die Summenformel gelangen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DmitriJakov aktiv_icon

12:12 Uhr, 28.08.2011

Du hast

f (0)

vergessen. Schreib die Untersumme am Besten so:

U_{n} = \frac{1}{n} \cdot (2 \cdot {(0 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2 + 2 \cdot {(1 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2 + 2 \cdot {(2 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2 + 2 \cdot {(3 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2)

Mario1993 aktiv_icon

14:00 Uhr, 28.08.2011

Ich rechne noch einmal neu, obwohl man 0 ja eigentlich gar nicht braucht bzw. 3 Streifen reichen doch völlig bei der Untersumme, oder nicht?

DmitriJakov aktiv_icon

14:02 Uhr, 28.08.2011

Stopp:

f (0) = 2 \cdot 0^{2} + 2 = 2 \neq 0

Mario1993 aktiv_icon

14:03 Uhr, 28.08.2011

Sorry haben oben einen Fehler! Die Funtkion lautet

f (x) = 2 x^{2} + x

DmitriJakov aktiv_icon

14:05 Uhr, 28.08.2011

ok, aber rechne doch besser mit der Obersumme, solange Du noch nicht so wirklich sattelfest bist. Die Untersumme wird komplizierter, da man in diesem Fall wieder tricksen muss. Es sei denn, Du willst diesen Trick üben.

Mario1993 aktiv_icon

14:06 Uhr, 28.08.2011

Müssen leider die Untersumme errechnen

- . -

also muss ich das wohl üben

DmitriJakov aktiv_icon

14:08 Uhr, 28.08.2011

Gut, dann stell nochmal die Untersumme auf, und zwar so, dass man die Laufvariable sehen kann, also

1 \cdot (...) + 2 \cdot (...) + 3 \cdot (...)

Mario1993 aktiv_icon

14:15 Uhr, 28.08.2011

= \frac{1}{n} \cdot [2 \cdot {(1 \cdot \frac{1}{n})}^{2}) + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot {(2 \cdot \frac{1}{n})}^{2}) + 2 \cdot \frac{1}{n} + + 2 \cdot {(3 \cdot \frac{1}{n})}^{2}) + 3 \cdot \frac{1}{n}]

DmitriJakov aktiv_icon

14:18 Uhr, 28.08.2011

Bis auf das doppelte Pluszeichen und der überschüssigen Klammer ")" am Ende des jeweiligen quadratischen Summanden ist das korrekt. Jetzt schau mal ob Du was ausklammern oder zusammenfassen kannst.

Mario1993 aktiv_icon

14:26 Uhr, 28.08.2011

ich würde zunächst einmal alles ausmulitplizieren, wie ich es oben schon getan habe. richtig?

Un

= \frac{1}{n} \cdot [\frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n} + \frac{8}{n^{2}} + \frac{2}{n} + \frac{18}{n^{2}} + \frac{3}{n}]

DmitriJakov aktiv_icon

14:33 Uhr, 28.08.2011

Das würdest Du tun, wenn Du für

n = 4

die Untersumme ausrechnen wolltest. Dein Ziel ist aber ein anderes, nämlich die Laufvariable zu isolieren, sodass Du irgendwann isoliert dastehen hast:

1 + 2 + 3 + 4 + (...) + i + (...) + (n - 1) + n

UND diesmal dann auch:

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + (...) + i^{2} + (...) + {(n - 1)}^{2} + n^{2}

Mario1993 aktiv_icon

14:38 Uhr, 28.08.2011

hmm muss ich

2 \cdot {(\frac{1}{n})}^{2}

und

\frac{1}{n}

ausklammern?

DmitriJakov aktiv_icon

14:42 Uhr, 28.08.2011

Das wäre mal eine Idee, ja. Aber komm nich durcheinender mit dem zweiten Summanden der Funktionsvorschrift ;-)

DmitriJakov aktiv_icon

14:44 Uhr, 28.08.2011

Ich sehe, Du hast Editiert. Ja, diese beiden sind auszuklammern. Am Besten kommst Du zurecht, wenn Du die Klammer neu sortierst, zuerst die quadratischen Elemente, dann die nicht-quadratischen.

Mario1993 aktiv_icon

14:45 Uhr, 28.08.2011

Als

2 \cdot {(\frac{1}{n})}^{2}

kann ich problem los ausklammern. Die

\frac{1}{n}

leider nicht :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

14:51 Uhr, 28.08.2011

Geht es so besser?:

U_{n} = \frac{1}{n} \cdot (2 \cdot {(1 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2 \cdot {(2 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 2 \cdot {(3 \cdot \frac{1}{n})}^{2} + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{n} + 3 \cdot \frac{1}{n})

U_{n} = \frac{1}{n} \cdot (2 \cdot 1^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} + 2 \cdot 2^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} + 2 \cdot 3^{2} \cdot \frac{1}{n^{2}} + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{n} + 3 \cdot \frac{1}{n})

Mario1993 aktiv_icon

14:59 Uhr, 28.08.2011

= \frac{1}{n} \cdot [\frac{1}{n^{2}} \cdot (2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{n} + 3 \cdot \frac{1}{n}]

DmitriJakov aktiv_icon

15:04 Uhr, 28.08.2011

Schonmal gut :-)
Jetzt hol noch die 2 aus den quadratischen Gliedern raus. Und rechts sieht das mit ausgeklammertem

\frac{1}{n}

dann so aus:

(...) + \frac{1}{n} (1 + 2 + 3)

Mario1993 aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.08.2011

= \frac{1}{n} \cdot [\frac{1}{n^{2}} \cdot (2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2}) + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{n} + 3 \cdot \frac{1}{n}]

= \frac{1}{n} \cdot [2 \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + 1 \cdot \frac{1}{n} + 2 \cdot \frac{1}{n} + 3 \cdot \frac{1}{n}]

= \frac{1}{n} \cdot [2 \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) + \frac{1}{n} \cdot (1 + 2 + 3)]

DmitriJakov aktiv_icon

15:18 Uhr, 28.08.2011

Super, jetzt hast Du die Laufvariable isoliert. Aber weil Du die Untersumme hast, geht Deine Laufvariable nur bis

n - 1

(denn sie beginnt ja bei Null und nicht bei

1)

.

Damit Du nun die schonen Formeln für

1 + 2 + 3 + ... + n

und

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}

anwenden kannst musst Du die Ausdücke in der Klammer nun noch ergänzen.

Mario1993 aktiv_icon

15:21 Uhr, 28.08.2011

habe ich nicht einen fehler gemacht? hätte ja auch den vorletzten x-wert einsetzten können und wäre somit auf 4 balken gekommen..und das mit der 0 verstehe ich nocht nicht ganz. bei 0 ist ja überhaupt kein flächeninhalt (nullstelle) und dort kann man ja auch keinen balken für die untersumme einzeichnen auf einer skizze

DmitriJakov aktiv_icon

15:29 Uhr, 28.08.2011

Du HAST den vorletzten x-Wert eingesetzt und Du HAST 4 Balken, nur dass eben der erste Balken Null ist :-D)

Einen Fehler hast Du deshalb nicht gemacht, denn Du musstest ja die Untersumme verwenden. Du kannst doch jetzt in Deine Klammern reinschreiben:

+ n^{2} - n^{2}

und

+ n - n

Tut niemandem weh :-)

Und im Anschluss ziehst Du das

- n^{2}

bzw. das

- n

aus der Klammer raus indem Du es ausmultiplizierst, aber eben nur dieses.

Mario1993 aktiv_icon

15:31 Uhr, 28.08.2011

aber wieso kann ich einfach da

+ n - n

reinschreiben...das will einfach nicht in meinen kopf :-D)
kannst du mir das anhand dieser rechnung noch einmal mit lösung ibtte erklären?

DmitriJakov aktiv_icon

15:35 Uhr, 28.08.2011

Du hast doch bestimmt mal die quadratische Ergänzung gemacht. Da hast Du einen ganz ähnlichen Trick verwendet. Du hast etwas hinzuaddiert und sofort wieder subtrahiert.

Und so ist es hier auch, man ergänzt hier etwas, um es in eine bestimmte Form zu bringen.

Mario1993 aktiv_icon

15:37 Uhr, 28.08.2011

üuhh, das ist schon lange her. kannst du mir also die aufgabe erklären mit dieser ergänzung? und die ergänzung noch einmal in einem kurzbeispiel :-D)? haben diese aufgaben nur als haufaufgabe bekommen und in dieser form noch nicht vorher gemacht, darum schaffe ich diese schritte nicht alleine

DmitriJakov aktiv_icon

15:45 Uhr, 28.08.2011

Also:
Ergänzung:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + n^{2} - n^{2}) + \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + n - n))

- n^{2}

und

- n

ausmultiplizieren:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + n^{2}) - \frac{2}{n^{2}} \cdot n^{2} + \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + n) - \frac{1}{n} \cdot n)

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + n^{2}) - 2 + \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + n) - 1)

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n^{2}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + n^{2}) + \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + n) - 3)

Und nun kannst Du die Formeln verwenden, Die dir für die Summenfolge gegeben wurde.

Mario1993 aktiv_icon

15:48 Uhr, 28.08.2011

alsoe die rechnung ist klar! aber wieso kann ich einfach so

+ n - n

schreiben
also es ist klar,d ass man dies zum lösen braucht aber wieso

. .

. gibt es dafür noch einmal extra gesetze?

DmitriJakov aktiv_icon

15:59 Uhr, 28.08.2011

Das ist jetzt so ähnlich wie beim Erweitern eines Bruchs:

\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{40}{50}

Der Wert des Bruchs wird dadurch nicht verändert.

Genauso ist es mit einer Summe. Durch das Hinzuzählen eines Wertes und anschließendem abziehen des selben Wertes wird die Summe nicht verändert und man darf das tun, wenn man es für sinnfoll erachtet.

6 = 1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 123456789 - 123456789 = 6

Mario1993 aktiv_icon

16:05 Uhr, 28.08.2011

man kann aber diese

+ n - n

ausdrücke aber nur zu den jeweiligen 2produkten schreiben oder wie läuft das genau? du hast ja in diesem falle die ausdrücke nur zu den summanden geschrieben

DmitriJakov aktiv_icon

16:11 Uhr, 28.08.2011

Ja, ganz genau, denn ich will ja die Summe nicht verändern. Aber anschliessend kann ich dann damit im Rahmen der elementaren Rechenregeln machen was ich will.

Mario1993 aktiv_icon

16:17 Uhr, 28.08.2011

ok vielen dank! verstanden habe ich das prninzip und wann erkenne ich genau, wann ich solch einen schritt durchführen muss?

DmitriJakov aktiv_icon

16:25 Uhr, 28.08.2011

Du kannst das daran erkennen, wenn Du am Ende Deiner Summenfolge nicht Dein

n

stehen hast, sondern etwas anderes. Und das hast Du regelmäßig bei der Untersumme einer monoton steigenden Funktion. Den selben Effekt hättest Du bei der Obersumme, wenn die Funktion in dem betrachteten Intevall monoton fallend wäre.

Man könnte das Ganze auch ohne diese Ergänzung rechnen, nur dann muss man höllisch aufpassen denn es geht dann von hinten durch die Brust ins Auge. Besser ist es schon sich erstmal an EIN Verfahren zu gewöhnen und Routine zu gewinnen.

Ist Dir klar, was nun die nächsten Schritte sind?

Mario1993 aktiv_icon

16:27 Uhr, 28.08.2011

ich muss an der richtigen stelle die summenformel einfügen und den grenzwert bestimmen. mache ich eben mal shcnell und poste dann meine lösung
vielen dank

Mario1993 aktiv_icon

16:31 Uhr, 28.08.2011

bei mir ist der grenzwert

- 2,

aber das kann bestimmt nicht stimmen

Mario1993 aktiv_icon

16:35 Uhr, 28.08.2011

oder halt!! muss man für die hintere klammer auch eine sumemnformel einsetzen?? die hier erwähnt wurde: www.onlinemathe.de/forum/Frage-zur-Streifenmethode

(beide aufgaben gehören zur gleichen nummer)

DmitriJakov aktiv_icon

16:39 Uhr, 28.08.2011

Klar musst Du das auch machen :-)

Mario1993 aktiv_icon

16:40 Uhr, 28.08.2011

hmm habe am ende nur noch brüche stehen, der grenzwert wäre

0 - . -

das kann ja auch nicht sein

Mario1993 aktiv_icon

17:07 Uhr, 28.08.2011

habe noch 2 mal nachgerechnet und kam immer wieder auf 0

DmitriJakov aktiv_icon

17:08 Uhr, 28.08.2011

Bei mir bleibt

\frac{7}{6}

übrig, das nicht durch

n

dividiert wird. Das ist der Grenzwert.

Mario1993 aktiv_icon

17:10 Uhr, 28.08.2011

kannst du bitte deine rechnung posten (oder fotografieren und iwo hochladen)
ich habe jetzt 4 mal probiert auf die lösung zu kommen Oo

DmitriJakov aktiv_icon

17:28 Uhr, 28.08.2011

Also ich setze jetzt die Formeln direkt ein:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n^{2}} \cdot \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} - 3)

links kürze ich

n

einmal, rechts kürze ich nicht

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2}{n} \cdot \frac{(n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} - 3)

rechts erweitere ich mit 3 damit ich den Hauptnenner

6 n

erhalte

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2 \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1)}{6 n} + \frac{3 \cdot n \cdot (n + 1)}{6 n} - 3)

Auf einem Bruchstrich geschrieben:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{2 \cdot (n + 1) \cdot (2 n + 1) + 3 \cdot n \cdot (n + 1)}{6 n} - 3)

(n + 1)

ausklammern:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{(n + 1) (2 \cdot (2 n + 1) + 3 \cdot n)}{6 n} - 3)

Den Zähler ausmultiplizieren:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{(n + 1) (4 n + 2 + 3 \cdot n)}{6 n} - 3)

Und zusammenfassen

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{(n + 1) (7 n + 2)}{6 n} - 3)

Ein weiteres Mal Ausmultiplizieren:

U_{n} = \frac{1}{n} (\frac{7 n^{2} + 9 n + 3}{6 n} - 3)

Klammer auflösen:

U_{n} = \frac{7 n^{2} + 9 n + 3}{6 n^{2}} - \frac{3}{n}

U_{n} = \frac{7}{6} + \frac{3}{2 n} + \frac{3}{n^{2}} - \frac{3}{n}

Beim Limes bleibt nun

\frac{7}{6}

übrig.

Mario1993 aktiv_icon

17:40 Uhr, 28.08.2011

vielen vielen dank!!!!

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