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Nichtausgeartete quadratische Formen , p-adische Z

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, p-adische Zahlen

alexis02 aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.07.2012

Hallo, muss folgendes beweisen, bitte kann mir jemand helfen:

Man zeige, dass eine nichtausgeartete quadratische Form in drei Unbestimmten über den Körper R_p die Null dann und nur dann (nichttrivial) darstellt, wenn c_p (f)=+1 ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

22:20 Uhr, 19.07.2012

Was ist hierbei

c_{p} (f)

?
Ich glaube, das habe ich zu einem anderen Thread schon einmal gefragt, und ich glaube deshalb nicht , dass das nirgends in deinem Skript definiert ist.

alexis02 aktiv_icon

11:36 Uhr, 20.07.2012

Sei

f = α_{1} x_{1}^{2} + \dots + a_{n} x_{n}^{2} (α_{i} \in R_{p}^{*})

. Dann wir der Ausdruck

c_{p} (f) = (- 1, - 1) \prod_{(} 1 \leq i \leq j \leq n) ▒ 〖 (α_{i}, α_{j} 〗)

als Hasse-Symbol bezeichnet.

c_{p} (α x^{2} + f) = c_{p} (f) (α, - α)

c_{p} (α x^{2} + β y^{2} + f) = c_{p} (f) (α β, - δ) (α, β)

(δ Determinante von f)
Das Hasse- Symbol kann man auch für eine beliebige ausgeartete quadratische Form f definieren:
Sei

f_{0}

eine zu

f

äquivalente Diagonalform. Dann setzen wir

c_{p} (f) = c_{p} (f_{0})

.

Des weiteren gilt: Seien

f_{1} u n d f_{2}

zwei nichtausgeartete quadratische Formen über dem Körper

R_{p}

mit den Determinanten

δ_{1} \neq 0 u n d δ_{2} \neq 0 . 〖 c 〗_{p} (f_{1} + f_{2}) = c_{p} (f_{1}) c_{p} (f_{2}) (- 1, - 1) (δ_{1}, δ_{2})

.

Sei f eine nichtausgeartete quadratische Form über dem Körper

R_{p} δ

ihre Determinante und

\propto

eine von null verschiedene Zahl des Körpers

R_{p}

, dann gilt:

c_{p} (α, f) = █ (c_{p} (f) (α, (- 1)^{(} (n + 1) / 2) f ü r u n g e r a d e n

und

c_{p} (f) (α, (- 1)^{(} n / 2) δ) f ü r g e r a d e

alexis02 aktiv_icon

11:39 Uhr, 20.07.2012

Habe in meiner Literatur gesucht und eben oberes gefunden zu

c_{p}

, ich hoffe es ist jetzt ein wenig aufschlussreicher!

Danke

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