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Normalenbereich

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Tags: Aufgabe

 
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Christian-

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20:00 Uhr, 25.07.2016

Antworten
Hallo ihr,


Gegeben ist die Menge:

D={x2:|x1|+|x2|1}

a) Skizzieren Sie die Menge
b) Zeigen Sie, dass D ein Normalenbereich ist.
c) Bestimmen Sie den Flächeninhalt von D.

------------
Mich interessiert erstmal nur die b).
Ich habe mich über den Normalenbereich informiert. Dieser wird auch schlichtes Gebiet bzw. Normalengebiet genannt.Laut Wikipedia ist dann Folgendes definiert: G={(x,y)2|a<x<b,g(x)<y<h(x)}
Diese Definition schaue ich mir schon etwas länger an, ich verstehe sie zwar, aber diese hilft mir nicht weiter, um die Aufgabe b) zu lösen. Auf anderen Seiten finde ich genau solche Formeln, die nur andere Buchstaben enthalten. Meine Frage ist also, wie ich jetzt konkret die b) machen soll ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
CKims

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21:13 Uhr, 25.07.2016

Antworten
du musst einfach nur angeben:

a=?
b=?
g(x)=?
h(x)=?

damit hast du dann die schlichtheit bzgl. der x achse gezeigt. dann das gleiche nochmal bzgl. der y achse also

a=?
b=?
g(y)=?
h(y)=?

und dann biste fertig

lg
Christian-

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22:31 Uhr, 25.07.2016

Antworten
Danke,


also

a=|x1|

b=|x2|

h(x)=|x1|+|x2|

,,damit hast du dann die schlichtheit bzgl. der x achse gezeigt.''

Was genau bedeutet das? Ich kann mir das nicht genau vorstellen.

Woher weiß du das? Aus deinem Skript, Buch, Vorlesung?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

20:15 Uhr, 26.07.2016

Antworten
Hallo
Hallo
du hast a und b und h falsch, die Grenzen für x sind a=-1x1=b ebenso für y .
hier sind die Grenzen durch x2=f(x1) bzw y=1-x,y0 für 0<x<1, und y=1+x
-1<=x<=ß für y0 definiert. für y0 mach es selbst, du hast hoffentlich die Skizze
allgemein zur Vorstellung:
zeichne 2 beliebige F unktionen zwischen a<b, wenn sich die Funktionen zwischen a und b kreuzen d.h. die obere unter die untere geht ist das Gebiet nicht schlicht oder normal. eine 8 ist nicht ein Normalbereich (nicht NormalENbereich, egal ob sie liegt oder steht!
sin(y) und cos(x) bilden für \-pi/2 <x<π4 ein Normalbereich, aber für 0<x<π2 nicht. zeichne es auf!
sobald due dein Gebiet skizziert hast, siehst du, dass es eines ist.
Gruß ledum
Antwort
abakus

abakus

21:37 Uhr, 26.07.2016

Antworten
Hallo ledum,
die obere Funktion lässt sich ohne diese unnötige Fallunterscheidung in einem Ritt durch y=1-|x| beschreiben.
Christian-

Christian- aktiv_icon

09:52 Uhr, 27.07.2016

Antworten
Hallo, und danke erstmal,



bevor ich anfange: Woher weiß du das? Hast du das aus einem Skript , Buch oder Vorlesung gelernt?
-------------

Warum ist für a=-1x1

Wieso überhaupt -1?
Warum es bis 1 geht, ist mir bewusst. Es ist schließlich in der Menge angegeben.
----------------
Warum benutzst du diesen Ausdruck und keinen anderen?
----------------
x2=f(x1)- Warum diese Darstellung? beides soll das gleiche sein?
---------------
1-x,y> für 0-- Das verstehe ich nicht.
--------------
0<x<1--- Das verstehe ich auch nicht.
------------
y=1+x-1x ß -- Warum plötzlich ß?Ansonsten verstehe ich auch diesen Ausdruck nicht. Du müsstest es mir erklären, wie du drauf kommst. Zwischenschritte.
-------------
zeichne 2 beliebige F unktionen zwischen a<b-- Wie?Ich weiß ja nicht mal, von wo bist wo es geht.
-------------
ist das Gebiet nicht schlicht oder normal----> Ich weiß ja nicht mal, was das bedeutet, erkläre mir mal das genau bitte.
-------------
Was bedeutet \-pi/2? Geteilt durch -π geteilt durch 2? Ist das eine neues Rechengesetzt?
-------------
Danke, wenn du mir helfen kannst.
----------

Was ich über |x1|+|x2| weiß , ist ,dass es immer positive Werte annehmen wird.
Das heißt, die Grenzen werden sicherlich von minimal 0 bis maximal 1 sein oder?
Antwort
Roman-22

Roman-22

12:44 Uhr, 27.07.2016

Antworten
> Wieso überhaupt -1?
> Warum es bis 1 geht, ist mir bewusst. Es ist schließlich in der Menge angegeben.
Wirklich? Ist es das? Ich lese dort nur |x1|+|x2|1
In welchen Bereichen sich da x1 und x2 bewegen dürfen, musst du schon selbst herausfinden, das steht da nicht.

Hast du dir schon die Skizze gemacht, um dir den gegebenen Bereich zu veranschaulichen?

Kann x1=3 sein? Kann x2=-2 sein? Warum nicht?

Liegt der Punkt(0,2//0,7) im Bereich? Und wie sieht es mit (0,2/0,9) aus?
Oder mit (-0,1/-0,2),(0,4/-0,6),.....

Die oberen Antworten sollten dir stark helfen, herauszufinden, um welchen Bereich in der x1x2- Ebene es hier geht.


> Was ich über |x1|+|x2| weiß , ist ,dass es immer positive Werte annehmen wird.
> Das heißt, die Grenzen werden sicherlich von minimal 0 bis maximal 1 sein oder?
Es geht aber nicht darum, welche Werte der Ausdruck |x1|+|x2| annehmen kann, sondern welche Werte für x1 und x2 infrage kommen!

R

Christian-

Christian- aktiv_icon

13:36 Uhr, 27.07.2016

Antworten
Hallo,

hm....

x1 dürfte sich im Bereich von -1 bis 1 bewegen.
x2 dürfte sich im Bereich -1 bis 1 bewegen.

Ah, also, wenn ich für x1 beispielsweise -1 einsetze, dann wird dieses Vorzeichen weggelassen, und x2 würde automatisch 0 ergeben.
Wenn ich für x1-12 einsetze, dann wird dieses Vorzeichen weggelassen, und x2 würde automatisch 12 oder -12 sein.
Richtig schlussgefolgert?
------------
Meine Skizze sieht etwas jämmerlich aus. q-q
Ich hoffe, sie sagt das richtige aus im Groben.
------------
,,Kann x1=3 sein? Kann x2=−2 sein? Warum nicht?''

Nie und nimmer kann es sein. Es geht ja bis 1
Wenn ich für x1 oder x2 den Wert 3 oder -2 einsetze, geht es über die 1 hinaus.
-----------
Liegt der Punkt(0,2//0,7) im Bereich? Und wie sieht es mit (0,2/0,9) aus?

Der Punkt (0,2/0,7) liegt im Bereich, da dieser unter 1 ist.
Der Punkt (0,2/0,9) liegt leider nicht , da dieser über 1 ist.
----------
(−0,1/−0,2) Dieser liegt
(0,4/−0,6) Dieser liegt auch
----------



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Antwort
Roman-22

Roman-22

14:53 Uhr, 27.07.2016

Antworten
Deine Skizze ist falsch.

Bei dir liegt zB der Punkt (1/0,5) im Bereich. Gilt deiner Meinung nach wirklich |1|+|0,5|1? Auch der Punkt (0,8/0,3) liegt bei dir im schraffierten Bereich - sollte er das wirklich?
Dafür liegt zB der Punkt (0,2/0,7) bei dir nicht im schraffierten Bereich - schade.

Außerdem hast du ja richtig erkannt, dass x1 und/oder x2 auch negative Werte annehmen können und hast die Fragen nach den paar Punkten richtig beantwortet.
Wo finde ich diese Punkte in deiner Zeichnung. Jene, bei denen du bestätigt hast, dass sie dem Bereich angehören, sollten doch auch im schraffierten Teil zu finden sein.
Zeichne sie ein und überlege dir, wie weit du dich von den jeweiligen Punkten entfernen darfst, ohne die Bedingung |x1|+|x2|1 zu verletzen.

Oder ganz konkret: Wenn x1=-0,3 gewählt wird. In welchem Bereich darf sich dann x2 bewegen?

R

Christian-

Christian- aktiv_icon

11:40 Uhr, 28.07.2016

Antworten
Sry, war die ganze Zeit mit Familie gestern, so ich versuche es jetzt.


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Antwort
Roman-22

Roman-22

12:09 Uhr, 28.07.2016

Antworten
LESEN!!
"Außerdem hast du ja richtig erkannt, dass x1 und/oder x2 auch negative Werte annehmen können und hast die Fragen nach den paar Punkten richtig beantwortet.
Wo finde ich diese Punkte in deiner Zeichnung."

Christian-

Christian- aktiv_icon

12:45 Uhr, 28.07.2016

Antworten
So vielleicht?

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Antwort
Roman-22

Roman-22

12:49 Uhr, 28.07.2016

Antworten
Heureka! Schwere Geburt.
Bis auf die schlampige Ausführung passt es jetzt und im Gegensatz zu vorhin sind immerhin die Achsen beschriftet.

Christian-

Christian- aktiv_icon

12:51 Uhr, 28.07.2016

Antworten
Ah so, das habe ich verstanden.
Woher weiß du das eigentlich? Welche Bücher, Skripte hast du verwendet? Diese Informationen hast du ja von irgendwo, aber von wo?
Oder hat es dir früher dein Prof. beigebracht und du hast gut zugehört?

Antwort
ledum

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12:56 Uhr, 28.07.2016

Antworten
Hallo
endlich richtig!
die 2 oberen Geradenstücke hatte ich dir für y>0 gesagt! dass du wie in den ersten Skizzen Geraden immer noch mit Wertetafeln zeichnest???.
jetzt versuch mal selbst diese richtige Zeichnung mit Geradengleichungen zu erklären aus |x1|+|x2|=1 als Grenzen des Gebietes |x1|+|x2|1.
dann verstehst du auch deine Nachfragen zu meinem post.
Beträge |a| muss man immer auflösen in |a|=a für a>0 und |a|=-a für a<0
Gruß ledum
Antwort
Roman-22

Roman-22

13:06 Uhr, 28.07.2016

Antworten
> Woher weiß du das eigentlich?
Um die Form des Gebiets zu erkennen, da geht es nicht um Wissen, sondern im Grunde nur um ein kleinwenig logisches Nachdenken. Sorry, keine fertige, universelle Formel zum Auswendiglernen ;-)

Die Grenzen -1 und +1 für x1 (und auch x2) sind ja nicht soo schwer zu erkennen gewesen. Dann lass x1 in Gedanken von -1 bis +1 marschieren und überlege dir, in welchem Bereich sich für ein bestimmtes x1 nun der Werte x2 bewegen darf. Auf diese Weise erhältst du recht schnell die Form deines Gebiets und im Gunde auch bereits die Begrenzungsfunktionen g(x1) und h(x1) für die Schlichtheit gegenüber der x1 -Achse. Der erste Schritt, um zu zeigen, dass es ein Normalbereich (nicht Normalenbereich) ist.

Da wollte ich dich ja auch mit meiner Frage
"Wenn x1=-0,3 gewählt wird. In welchem Bereich darf sich dann x2 bewegen?
hinführen, aber du hast sie leider ignoriert.

R


Christian-

Christian- aktiv_icon

13:45 Uhr, 28.07.2016

Antworten
Ah so ok danke,

ja wir können die b) auch machen.
Ja, einen Moment, muss kurz Gassi dann machen wir die b)
x1=-0,3
dann darf sich x2 im Bereich -0,7 und 0,7 bewegen.

EDIT

Bin wieder da!
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:45 Uhr, 28.07.2016

Antworten
>x1=-0,3
> dann darf sich x2 im Bereich -0,7 und 0,7 bewegen.
Genau. untere Grenze -1+|-0,3| und obere Grenze 1-|-0,3|

Für b) wurde ja schon viel Vorarbeit von CKims, ledum und Gast62 geleistet.

Um zu zeigen, dass D ein Normalgebiet ist, musst du nachweisen, dass D schlicht über x1 und auch schlicht über x2 ist.

Du musst also Grenzen a1,b1 und Grenzfunktionen g1(x1),h1(x1) angeben, sodass sich das Gebiet als D={(x1;x2)|(a1x1b1)(g1(x1)x2h1(x1)} schreiben lässt und analog auch Grenzen a2,b2 und Grenzfunktionen g2(x2),h2(x2) angeben, sodass sich das Gebiet als D={(x1;x2)|(g2(x2)x1h2(x2))(a2x2b2)} schreiben lässt.
Anm.: Meine Meinung nach sollten die < Zeichen in der Definition bei Tante Wiki Zeichen sein.

R
Christian-

Christian- aktiv_icon

18:51 Uhr, 29.07.2016

Antworten
Hallo Roman und danke,

Wikipedia hat das bestimmt extra gemacht, um mich zu verwirren! ;D
Dann müsste das so aussehen:

D={(x1;x2)|(-1x11),(-1x21)}
Ich verstehe noch nicht ganz das mit dieser Darstellung:
D={(x1;x2)|g2(x2)x1h2(x2)(a2x2b2)} Schlichtheit für die y-Achse.

Bitte nicht sauer sein, wenn ich es noch nicht verstanden habe.
Antwort
Roman-22

Roman-22

01:28 Uhr, 30.07.2016

Antworten
> Dann müsste das so aussehen:
> D={(x1;x2)|(−1≤x1≤1),(−1≤x2≤1)}
Nein, so sieht es nicht aus. Das wäre zwar auch ein Quadrat, aber ein viel größeres!
x2 darf nicht beliebig aus [-1;1] gewählt werden, sondern der Bereich für x2 bei gegebenen x1 hängt natürlich von x1 ab. Und genau diese Abhängigkeit wird durch die gesuchten Funktionen, die ich g1(x1) und h1(x1) genannt habe, beschrieben.

Du hast ja vorhin selbst richtigerweise festgestellt, dass, wenn x1=0,3 ist, x2 nur im Bereich von [-0,7;0,7] gewählt werden kann. also is g1(0,3)=-0,7 und h1(0,3)=0,7.
Und jetzt sieh dir meine Antwort dazu noch einmal an, und vor allem die Antwort von ledum und von Gast62.

R

EDIT: Im Anhang eine Skizze zu dem, was bei der Schlichtheit bzgl x1 zu suchen/zeigen ist. a1 und b1 sind ja schon klar und wie sieht es jetzt mit den Begrenzungsfunktionen aus?

Schlichtx1
Christian-

Christian- aktiv_icon

17:55 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Hei Roman, danke für die Grafik.
Ich habe jetzt versucht das zu machen, aber ich verstehe leider nicht, wie ich das aufschreiben soll. Mir ist ja bewusst, dass, wenn ich für |x1| beispielsweise 0,5 einsetze, dass dann für |x2|-0,5 oder 0,5 herauskommen muss. Aber wie ich das jetzt in diese Darstellung bringe, um es zu zeigen, weiß ich leider nicht. Ich habe auch die anderen Posts gelesen, aber ich kann es immernoch nicht.

Was ich noch anbieten würde wäre: D={(x1;x2)|(-1x11),(0x20)}
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:01 Uhr, 31.07.2016

Antworten
> dass dann für |x2|−0,5 oder 0,5 herauskommen muss
Oh nein!
1) kann für |x2| kaum etwas Neagtives rauskommen, und
2) kommt nicht -0,5 oder 0,5 heraus, sondern x2 kann beliebig im Bereich [-0,5;0,5] gewählt werden.

> Was ich noch anbieten würde wäre: D={(x1;x2)|(-1≤x1≤1),(0≤x2≤0)}
Das ist hilfloses Raten, sonst nix. Überleg dir doch, was das für ein "Bereich" wäre.
Die Zeichnung von vorhin sollte dir zeigen, welche Begrenzungsfunktionen g(x1) und h(x1) du suchen musst.
Du hast ja erkannt, dass je nachdem, welchen Wert wir für x1 wählen, x2 aus einem anderen Intervall wählbar ist. Die oberen Grenzen dieses Intervalls werden durch die Funktion h(x1) angegeben, die unteren Grenzen durch g(x1).
Und darum, diese Funktionen anzugeben, geht es. Ein Teil der Lösung haben dir die ersten Antworten ja schon gegeben, nur hast due es noch nicht erkannt.

Was entspricht also der roten und der blauen "Kurve" in deinem konkreten Beispiel und durch welche Gleichungen kann man sie beschreiben?

R


B2
Christian-

Christian- aktiv_icon

19:22 Uhr, 31.07.2016

Antworten
hei,


also diese rote Abbildung ist h(x) und dieses blaue untere Gebilde ist g(x).
Und ich soll diese beiden Gebilde in Funktion umschreiben.


Ich weiß leider jetzt nicht, wie ich dieses Gebilde in Funktionen beschreiben soll.

Ich versuche es mal.

h1(x)=x+1
h1(x)=-x+1

g1(x)=-x-1
g1(x)=x-1

Was diese Kurven entsprechen? Hm.. eine ist oberhalb der x-Achse und eine ist unterhalb der x-Achse.
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:37 Uhr, 31.07.2016

Antworten
> h1(x)=x+1
> h1(x)=-x+1
Na was nun?
Man kann das schon so zusammenstückeln, aber dann muss man dazu schreiben, für welche x_1 welche der beiden Terme gelten soll.

Gast62 hat dir aber am 26.07.2016 um 21:37 Uhr einen Tipp gegeben, wie man das ohne Fallunterscheidung schreiben könnte.

R

Christian-

Christian- aktiv_icon

19:53 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Ah, ich begreife ein wenig


dann so :


h(x1)=|x|+1

g(x1)=|x|-1
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:55 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Naja, fast!
Zum einen soll überall x1 stehen, oder du wählst x und y anstelle von x1 und x2.

Aber h(x1) ist noch falsch, da fehlt ein Minus.


Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

20:04 Uhr, 31.07.2016

Antworten
erst denken, dann zeichnen, dann schreiben! siehe Bild
Gruß ledum

Bildschirmfoto 2016-07-31 um 20.02.19
Christian-

Christian- aktiv_icon

20:16 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Ah ich verstehe nun.


Also


h(x1)=-|x1|+1

g(x1)=|x1|-1

Jetzt habe ich auch verstanden, warum bei h(x1) ein Minus kommt. Macht ja Sinn.

Dann heißt der Normalbereich


G={(x1;x2)|(-1x11),((|x1|-1)x2(-|x1|+1))}

So richtig ja?
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:44 Uhr, 31.07.2016

Antworten
> So richtig ja?
Nein. Du hast bei x2 untere und obere Grenze vertauscht.
EDIT: Die Anmerkung ist falsch. Die Grenzen sind so wie angegeben richtig!

Damit ist dann die Schlichtheit des Gebiets gegenüber x1 gezeigt.

Jetzt noch die Schlichtheit gegenüber x2 (jetzt gehts um die linke und rechte Begrenzungsfunktion, wenn x2 von -1 bis +1 läuft) und in Summe hat man dann gezeigt, dass es ein Normalgebiet ist.

R

Christian-

Christian- aktiv_icon

20:51 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Hm...
in Wikipedia ist doch h(x) oben als Beispiel.
In dieser Schreibweise kommt sie so vor: ...yh(x)
In unserem Beispiel jetzt ist doch die obere Grenze h(x1)=-|x1|+1 gewesen.
Und da dachte ich mir, dass man das auch so schreiben könnte :... x2-|x1|+1
de.wikipedia.org/wiki/Schlichtes_Gebiet

Warum muss ich es also umgekehrt machen?q.q

Also so meinst du :


...-|x1|+1x2|x1|-1

Antwort
Roman-22

Roman-22

21:49 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Sorry - mein Fehler!
Deine Grenzen waren schon OK so!
Weiß nicht, wieso ich dachte, sie wären falsch.

R

Christian-

Christian- aktiv_icon

21:57 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Oh, okey danke.
Belaste ich dich zu sehr? Es tut mir leid .;(
Ich will nicht, dass du dich wegen mir belastest. Bitte verzeih mir.
Wenn du die Lust hast, dann können wir weiter machen?!
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:09 Uhr, 31.07.2016

Antworten
Wenn mich der Diskurs u sehr belastet oder ich anderes zu tun habe, merkst du das schon an der Nicht-Antwort.
Viel fehlt ja nun nicht mehr, denn du wirst schnell erkennen, dass aufgrund der Symmetrielage die Situation gegenüber der x2-Achse im Grunde die gleiche ist wie die gegenüber der x1-Achse. Die linke und rechte Begrenzungsfunktion, die ich weiter oben g2(x2) und h2(x2) genannt hatte (innerhalb einer Aufgabe sollte ein Buchstabe wie g oder h nicht plötzlich etwas anderes benennen) werden sich kaum wesentlich von den gerade mühsam gefundenen g und h unterscheiden.

R

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.