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Normalteiler

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cimbom64 aktiv_icon

13:04 Uhr, 19.10.2014

Hey Leute eine etwas längere Frage an der ich die ganze Zeit schon bin:

Y [latex]\subseteq [/latex] X sind Mengen. G sei Gruppe. Es gilt:
G*={ a: X --> G | a Abbildung } der G-wertigen Funktionen auf X mit der Multiplikation: (ab)(x)=a(x)b(x) für alle a,b Element G* und x Element X.

Zeigen sie:
N={a Element G* | a(y)=1 für alle y Element Y} ist ein Normalteielr in G*

Ich weiss das gelten muss a(x)a(y)a^{-1}(x) Element N. Das heisst es muss 1 rauskommen. Nur wie zeige ich das jetzt? Danke euch im voraus...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:12 Uhr, 19.10.2014

Ist es falsch wenn ich es so sage:

a(x)a(y)a^{-1}(x)=a(x)1a^{-1}(x)=1a(x)a^{-1}(x)
=1*1=1 Element N also Normalteiler.

ich tausche 1 mit a(x) aufgrund der Eigenschaft des neutralen Elements: 1a(x)=a(x)1

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13:22 Uhr, 19.10.2014

Du musst zeigen:

a N a^{- 1} \subset N

für alle

a

. Das bedeutet:

a (x) b (x) a^{- 1} (x) \in N

(

x

in Klammern bedeutet nur, dass es sich um Funktionen geht, nicht die konkreten Werte!!!) für alle

x

aus

X

und alle

a

auf

G^{*}

b

aus

N

. Und

a (x) b (x) a^{- 1} (x) \in N

ist gleichbedeutend mit

a (y) b (y) a^{- 1} (y) = 1

für alle

y

aus

Y

. Aber da

b (y) = 1

für alle

y

aus

Y

wegen

b \in N

, ist auch

a (y) b (y) a^{- 1} (y) = a (y) a^{- 1} (y) = 1

.

Die Aussage ist also ziemlich trivial, wenn man versteht, was es überhaupt für Objekte sind. Das zu verstehen ist aber etwas schwieriger.

cimbom64 aktiv_icon

13:50 Uhr, 19.10.2014

Hehe deins sieht besser aus.. Ich danke dir.. Kannst du mir vielleicht noch hier helfen?

Ich soll noch zeigen das gilt:

G*/N isomorph zu G^Y mit G^Y={ c : Y --> G | c Abbildung }

cimbom64 aktiv_icon

13:51 Uhr, 19.10.2014

das heisst ich muss zeigen das sie bijektiv sind und sie ein Homomorphismus sind... dann sind sie ja isomorph soweit ich weiss

cimbom64 aktiv_icon

13:54 Uhr, 19.10.2014

Das müsste schnell gehen...Nur eine Frage: Schreibe ich es so richtig hin?

G*/N= { aN: a Element G* } = { a(x)a(y) } = {a(x)*1 } = {a(x)}

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13:59 Uhr, 19.10.2014

Nein,

{a (x) a (y)}

ist definitiv nicht richtig. Ich verstehe nicht mal, was das bedeutet.

cimbom64 aktiv_icon

14:12 Uhr, 19.10.2014

Wie sieht denn dann G*/N aus? :(

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14:20 Uhr, 19.10.2014

G^{*} / N = {a N ∣ a \in G^{*}}

und

a N = {a \cdot b ∣ b \in N}

.
Wenn Du verdeutlichen willst, dass es sich um Funktionen handelt, kannst Du auch

a N = {a (x) \cdot b (x) ∣ b \in N}

schreiben, solange Du im Kopf behälst, dass

a (x)

in diesem Fall nicht den Wert

a (x)

bedeutet.
Wenn Du sozusagen kombinieren willst, könntest Du theoretisch auch

G^{*} / N = {a N ∣ a \in G^{*}} = {{a \cdot b ∣ b \in N} ∣ a \in G^{*}}

schreiben, aber ich würde davon abraten, das bringt nur Verwirrung.

Und

a (x) a (y)

geht gar nicht, denn es kann keine zwei verschiedene Argumente bei den Funktionen geben, sie hängen alle von derselben Variable, sonst konstruierst Du irgendetwas zweidimenionales, was völlig verkehrt ist. Also entweder immer

x

als Argument verwenden oder immer

y

, aber nicht mischen.

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17:27 Uhr, 19.10.2014

Aber schau mal... Y ist doch Teilmenge X. Also wenn ich schreibe a(y) ist doch das y Element X. Oder sehe ich das falsch? Aber danke dir nochmals...

cimbom64 aktiv_icon

17:27 Uhr, 19.10.2014

Nur wie zeige ich jetzt das G*/N isomorph zu G^Y ist?

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18:06 Uhr, 19.10.2014

"Also wenn ich schreibe a(y) ist doch das y Element X."

Ja, schon. Und was willst Du damit sagen?

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18:08 Uhr, 19.10.2014

Wie ist

G^{Y}

definiert?

cimbom64 aktiv_icon

18:16 Uhr, 19.10.2014

Oh entschuldige..Und zwar:

G^{Y}

={a:Y

\to

G|a Abbildung}

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19:36 Uhr, 19.10.2014

Dann ist die Abbildung

φ : a \in G^{Y} \to a N

der gesuchte Isomorphismus.
Zu beweisen ist:

K e r (φ) = E

, wobei

E

die Abbildung

Y \to 1 \in G

ist und

φ (G^{Y}) = {a N ∣ a \in Y}

. Beides geht ziemlich direkt.

cimbom64 aktiv_icon

20:00 Uhr, 19.10.2014

φ:a∈GY→aN ich verstehe diese Abbildung gar nicht...

DrBoogie aktiv_icon

21:36 Uhr, 19.10.2014

Nun, ich weiß nicht, wie man Abbildung verstehen oder nicht verstehen kann.

φ : a \to a N

bildet ein Element

a

aus

G^{Y}

auf die Faktorklasse

a N

.
Ein Element aus

G^{Y}

ist eine Funktion

Y \to G

. Also hast Du eine Abbildung auf Funktionen.
Wobei hier noch gesagt werden muss, dass man

a

noch von

Y

auf

X

erweitern muss, indem man

a (x) = 1

für

x \notin Y

annimmt. Wenn ich also für

a

aus

G^{Y}

solche Erweiterung auf

X

mit

a_{X}

bezeichne, dann ist die korrekte Definition von

φ

φ : a \to a_{X} N

a \in G^{Y}

.

Und dann was Du zeigen musst:
Beweis von

K e r (φ) = E

geht so:

φ (a) = N

(das ist die Eins in der Faktorgruppe

G^{*} / N

) =>

a_{X} N = N

a_{X} \in N

=>
=>

a_{X} (y) = 1

für alle

y \in Y

a (y) = 1

für alle

y \in Y

a = E

- die Eins in der Gruppe

G^{Y}

.

Beweis von

φ (G^{Y}) = G^{*} / N

geht so:
sei

b

aus

G^{*} / N

beliebig, dann ist

b = a N

. Definiere dann

c

so:

c (y) = 1

für alle

y \in Y

c (x) = a^{- 1} (x)

für alle

x \notin Y

. Dann liegt

c

N

und deshalb

a c N = a N

, aber

a c

ist

1

für alle

x \notin Y

. Wenn wir jetzt als

a c_{Y}

die Einschränkung von

a c

auf

Y

nehmen, dann gilt

b = a N = a c N

und

a c = (a c_{Y})_{X}

, also

b = φ (a c_{Y})

mit

a c Y \in G^{Y}

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23:18 Uhr, 19.10.2014

Woher hast du das denn hergezaubert...Auf sowas wäre ich nie gekommen

o_{o}

cimbom64 aktiv_icon

23:18 Uhr, 19.10.2014

Ich danke dir für deine Hilfe :-)

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