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Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Die Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion lautet:

f (x) = a \cdot sin (b x + c)

Wenn die Funkion die x-Achse schneidet, dann nimmt die Funktion den Funktionswert 0 an.
Um die Nullstellen zu berechnen ist folgender Ansatz richtig:

f (x) = 0

Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist (immer)

L = {\frac{k \cdot π - c}{b}, k \in ℤ}

Das entspricht der Menge aller Nullstellen. Möchte man die Nullstellen in einem vorgegebenen Intervall bestimmen, so muss man für

k

verschieden Werte einsetzen bis die letzte berechnete Nullstelle nicht mehr im Intervall liegt.

Beispiele

f (x) = sin x

b = 1, c = 0

L = {k \cdot π, k \in ℤ}

f (x) = sin (2 x)

b = 2, c = 0

L = {k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ}

f (x) = sin (2 x + π)

b = 2, c = π

L = {\frac{k \cdot π - π}{2}, k \in ℤ}

Nullstellen im Bereich

[0; π] :

k = 0 \Rightarrow x_{1} = - \frac{π}{2} \Rightarrow

nicht im Intervall.

k = 1 \Rightarrow x_{2} = \frac{π - π}{2} = 0

k = 2 \Rightarrow x_{3} = \frac{2 \cdot π - π}{2} = \frac{π}{2}

k = 3 \Rightarrow x_{4} = \frac{3 \cdot π - π}{2} = π

\Rightarrow

Im Intervall

[0; π]

schneidet die Funktion die x-Achse in

0, \frac{π}{2}

und

π

Bestimmen der Nullstellen ohne Formel

Merkregel:

Der Abstand zwischen 2 Nullstellen ist gleich der Hälfte der Periodenlänge
(Die Periodenlänge wird im folgenden

T

genannt).

Kennt man also eine Nullstelle, dann können alle anderen leicht ausgerechnet werden indem man zur bekannten Nullstelle vielfache von

\frac{T}{2}

dazu addiert und/oder subtrahiert.

Beispiel

f (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (3 x)

b = 3 \Rightarrow

Periode

T = \frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

Ansatz:

f (x) = 0

\frac{1}{2} sin (3 x) = 0 \Rightarrow 3 x = 0

Erste Nullstelle:

x_{1} = 0

Zweite Nullstelle: wir addieren zur ersten einmal die Hälfte der Preriodenlänge

x_{2} = x_{1} + 1 \cdot \frac{T}{2} = 0 + \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

Dritte Nullstelle: wir addieren zur ersten 2 mal die Hälfte der Preriodenlänge

x_{3} = x_{1} + 2 \cdot \frac{T}{2} = 0 + \frac{2 π}{3} = \frac{2 π}{3}

Insgesamt ergibt sich somit folgende Lösungsmenge:

L = {\frac{k \cdot π}{3}, k \in ℤ}

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