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Numerische Lösung nichtlinearer GL im R^n

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17:32 Uhr, 19.05.2017

Hallo :-)

ich brauche ein bisschen Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Zu zeigen, ist ein Iterationsverfahren

(I)

mit Iterationsvorschrift

Φ : R^{n} \to R^{n}

quadratisch konvergent gegen

x^{*} \in R^{n}

, so ist

(I)

auch linear konvergent.

Dazu haben wir den Satz über Konvergenz von Fixpunktiterationen in

R

:

Sei

D \subseteq R

Φ : D \to D

zweimal stetig diffbar mit Fixpunkt

x^{*} \in D

.

Dann gilt:
(i)

Φ ʹ (x^{*}) = 0 \Rightarrow Φ

ist quadratisch konvergent gegen

x^{*}

,
(ii)

∣ Φ ʹ (x^{*}) ∣ < 1 \Rightarrow Φ

ist linear konvergent gegen

x^{*}

,
(iii)

∣ Φ ʹ (x^{*}) ∣ > 1 \Rightarrow Φ

ist nicht lokal konvergent gegen

x^{*}

Außerdem kennen wir die Konvergenz des Newtonverfahrens(NV) für

f : R \to R

Ist

f : R \to R

zweimal stetig diffbar und

f ʹ (x^{*}) \neq 0 \forall x^{*} \in R

mit

f ʹ (x^{*}) \neq 0

, so ist das Newtonverfahren konsistent zum Problem

f (x^{*}) = 0

und quadratisch konvergent

So ähnlich dann für

R^{n} \to R^{n}

da macht man das mit dem NV über die Jacobi-Matrix

Ich brauche eine Starthilfe, mir fällt kein Ansatz ein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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