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Optimierung mit dem GTR

Schüler

Tags: GTR, Optimierung

minka96 aktiv_icon

19:43 Uhr, 28.06.2011

Also hier die Aufgabe :
aus einem 10cm langen Drahtstück soll ein Kreisausschnitt gebogen werden

wie groß muss der radius

r

und der mittelpunktwinkel gewählt werden damit der flächeninhalt möglichst groß wird ?

leider bin ich mit dieser art von aufgabe volkommen unvertraut XD würd mich über hilfe freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

09:39 Uhr, 29.06.2011

Hallo,
da bisher noch niemand geantwortet hat, hier mein Vorschlag:

Hauptbedingung ist die Fläche A eines Kreisausschnittes (Mittelpunktswinkel

α

im Bogenmaß):

A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{2 π}

A = r^{2} \cdot \frac{α}{2}

Hier sind also zwei Unbekannte,

r

(Radius) und

α,

in der Flächenfunktion!

Nebenbedingung ist der gegebene Umfang des "Tortenstücks" (bzw. Kreisausschnittes ;-)

U = 10

cm,
der sich aus der Kreis-Bogenlänge

L

L = 2 r \cdot π \cdot \frac{α}{2 π}

L = r \cdot α

und zweimal dem Radius

r

zusammensetzt:

U = 10 = r \cdot α + 2 \cdot r

10 = r α + 2 r

10 = r (α + 2)

Umgestellt nach

r

(warum nicht nach

α

?):

r = \frac{10}{α + 2}

Eingestzt in Hauptbedingung ergibt die Flächenfunktion (mit der einzigen Unbekannten

α) :

A (α) = \frac{10^{2}}{2} \cdot \frac{α}{{(α + 2)}^{2}}

Jetzt Extremwert(e) suchen, dh. diese Flächenfunktion nach

α

Ableiten und Nullsetzen.
Probiers mal.
Zwischenergebnis:

A^{'} (α) = \frac{10^{2}}{2} \cdot \frac{2 - α}{{(α + 2)}^{3}}

;-)

PS:
Wenn man in Gedanken den Kreisausschnitt zum Vollkreis werden lässt

(α \to 2 π),

erhält man eine noch größere Fläche.
Denn in diesem Fall würden die zwei "Radius-Stücke", die den Kreisausschnitt seitlich abschließen, entfallen.
Somit wäre der Umfang

U = 10 = 2 π r

(die

+ 2 r

fallen dann ja weg) und dies ergäbe so einen größeren Flächeninhalt von

A_{⊙} = \frac{10^{2}}{2^{2} π} = \frac{25}{π}

als über die obige Extremwertaufgabe
(Ergebnis der Extremwertaufgabe ist übrignes

A (α = 2) = \frac{10^{2}}{4^{2}} = 6,25

wenn der Fehlerteufel gnädig war).

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