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P für 2 ident. Zahlen eines 4-stelligen Slots?

Universität / Fachhochschule

Kombinatorische Optimierung

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Kombinatorik, Kombinatorische Optimierung, laplace, Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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RickR

RickR aktiv_icon

12:13 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo,

ich habe eine Aufgabe mit Lösung, kann aber die Lösung nicht nachvollziehen. Ich glaube, es könnte einfacher zu lösen sein und verständlicher:

Aufgabe: Bestimme die Wahrscheinlichkeit (P), dass eine zufällige Zahlenkombination eines 4-stelligen Zahlenschlosses genau 2 gleiche Ziffern enthält, Ziffern von 0-9(10 insgesamt).

Bisherige Lösung (die wohl korrekt ist):

Zunächst wurde in der Teilaufgabe zuvor die P berechnet, dass das Schloss genau 2mal eine 7 enthält. Die P hierfür beträgt:
(4 über 2)92=48648610000=0,0486(10.000 Möglichkeiten gibt es insgesamt)

Nun zurück zur eigentlichen Fragestellung bzw. deren Lösung:

100,0486-(10 über 2)(4!2!2!)=0,459

Erklärung (die ich bis auf 100,0486 nicht genau verstehe):
100,0486, da man diesmal nicht nur eine Zahl, sondern 10 mögliche hat.

-(10 über 2), weil diese bereits gewählten Zahlen von den 10 abgezogen werden, denn es dürfen keine weiteren 2 identischen vorkommen.

(4!2!2!) Die Zahlen werden dann vertauscht (Permutation) mit Wiederholung. Gemeint sind das identische Paar, das vorkommen darf und das Paar, das nicht mehr vorkommen darf (es muss ja genau ein identisches Paar sein).

1. Könnte mir jemand eine andere Erklärung dazu geben? Manchmal hilft es, etwas in anderen Worten darzustellen. Besonders das (4!2!2!), und dass es mit dem Rest multipliziert wird, verstehe ich nicht ganz.

2. Gibt es einen anderen, weniger umständlichen Rechenweg? Wie sähe der aus?

3. Wie würde man dies berechnen, wenn man nicht bereits die Wahrscheinlichkeit für genau 2x7 aus der vorgeschobenen Teilaufgabe hätte? Wie würde die Rechnung dann aussehen?

Danke für eure Hilfe!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:25 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Es gibt insgesamt 104=10000 Kombinationen.
Wie viele davon haben eine fixe Zahl i genau zweimal? Zuerst mal muss man zwei Stellen wählen, wo diese Zahl steht. Das sind 2 Stellen aus 4, Situation "Ziehung ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge". Die Anzahl der Varianten ist also 42=4!2!2!. Jetzt dürfen an den restlichen zwei Stellen nur 9 von 10 Zahlen stehen, daher gibt's 92 Kombinationen pro eine Belegung der 2 Stellen mit der Zahl i. Insgesamt also 9242 Kombinationen. Für eine i. Aber davon gibt's 10. Also insgesamt 10242 Kombinationen.

Falls das immer noch nicht klar, versuch einfach "zu Fuss" das Ganze nachvollziehen, wenn nur die Zahlen 0,1,2,3 zugelassen sind, in dem Fall kannst Du einfach Kombinationen zählen.
RickR

RickR aktiv_icon

13:29 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo Dr. Boogie,

danke, dass du dich mit meiner Frage beschäftigst! Und so schnell!

Was ich trotz deiner Antwort nicht verstehe:

1. Wieso ist bei dir (4 über 2) das Gleiche wie (4!2!2!)?

2. Wieso wird aus (9 über 2), das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder (10 über 2)?

3. Deine Berechnung und Erklärung kann ich mehr oder weniger nachvollziehen. Du schließt allerdings nicht den Fall aus, dass unter den 9 übrigen Zahlen noch zwei weitere identische auftauchen. Laut Fragestellung soll das Zahlenschloss genau zwei identische Zahlen anzeigen, nicht mehr und auch kein weiteres Paar.
Vielleicht liegt dort der Hund begraben?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:45 Uhr, 14.09.2017

Antworten
"1. Wieso ist bei dir (4 über 2) das Gleiche wie (4!2!⋅2!)?"

Definition des Zeichens nk ist n!k!(n-k)!

"2. Wieso wird aus (9 über 2), das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder (10 über 2)?"

Ich sehe nirgendwo "10 über 2" oder "9 über 2".

"3. Deine Berechnung und Erklärung kann ich mehr oder weniger nachvollziehen. Du schließt allerdings nicht den Fall aus, dass unter den 9 übrigen Zahlen noch zwei weitere identische auftauchen. Laut Fragestellung soll das Zahlenschloss genau zwei identische Zahlen anzeigen, nicht mehr und auch kein weiteres Paar."

Ja, richtig, meine Lösung ist nicht korrekt. Aber man kann sie leicht korrigieren, wenn man einfach die Kombinationen abzieht, wo zwei Paare drin sind. Es gibt 10942 solche Kombinationen (109 für die Auswahl der Zahlen, die doppelt vorkommen, und 42 für die Auswahl der Positionen).

Oder anderer Weg: bei der Wahl der "restlichen" Zahlen in meiner Lösung "ohne Zurücklegen" zählen, also 109842 statt 109242.

Das Endergebnis ist also 109842
RickR

RickR aktiv_icon

14:08 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo DrBoogie,

bei meiner letzten 2. Frage habe ich mich verschrieben. Sie sollte lauten:
Wieso wird aus 92, das die bereits verwendete Zahl ausschließt, dann doch wieder 102?

Ich glaube, ich habe diesen Teil verstanden: 10⋅9⋅8⋅(4 über 2)
Erst wählt man aus 10 Zahlen aus, dann nur noch aus 9 und dann aus 8, wobei der Abzug jeweils für 2 identische Zahlen gilt, 22 identische Zahlen. Diese Zahlen können dann auf 2 von 4 Positionen platziert sein, wobei das ja nur für die genau 2 identischen Zahlen gilt.
Richtig?

Bei dem ursprünglichen Lösungsweg ergibt sich eine P von 0,459.

Rechne ich mit deinen Werten, ergeben 1098610000=0,432.

Ich weiß, dass das erste Ergebnis stimmen muss. Meinst du, der geringe Unterschied liegt daran, dass z. B. 3 identische oder 4 identische Zahlen nicht berücksichtigt sind? Oder sind sie es und ich übersehe etwas?

Danke für deine Hilfe!




Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:34 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Richtige Antwort ist 0.432.
Das kannst Du einfach mit einem Programm prüfen, dass alle Kombinationen zählt.

Z.B. in Python
kk=0
for i in range(0,10):
for j in range(0,10):
for k in range(0,10):
for m in range(0,10):
if (i==j and i<>k and i<>m and k<>m) or (i==k and i<>j and i<>m and j<>m):
kk=kk+1
if (i==m and i<>k and i<>j and k<>j) or (j==k and i<>j and j<>m and i<>m):
kk=kk+1
if (m==j and i<>j and i<>k and k<>j) or (k==m and i<>k and j<>k and i<>j):
kk=kk+1
print kk

Deine Berechnung verstehe ich nicht, insbesondere was denn 102 bedeuten sollen.


RickR

RickR aktiv_icon

14:55 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo DrBoogie,

danke wieder für deine schnelle Antwort!

"Deine Berechnung verstehe ich nicht, insbesondere was denn (10 über 2) bedeuten sollen."
(10 über 2) soll bedeuten, dass 2 von 10 Zahlen ausgewählt werden, die dann vom Rest abgezogen werden. Das ist aber die Erklärung meines Lehrers, nicht meine. Mich verwirrt eben diese Subtraktion, dann wieder Multiplikation.

Habe ich denn den beschriebenen Teil richtig verstanden? "Ich glaube, ich habe diesen Teil verstanden: 10⋅9⋅8⋅(4 über 2)2)
Erst wählt man aus 1010 Zahlen aus, dann nur noch aus 9 und dann aus 8,8, wobei der Abzug jeweils für 2 identische Zahlen gilt, 2⋅22⋅2 identische Zahlen. Diese Zahlen können dann auf 2 von 4 Positionen platziert sein, wobei das ja nur für die genau 2 identischen Zahlen gilt.
Richtig?"

Ich habe die Lösung und den Rechenweg von meinem Mathelehrer. Entschuldige, dass ich deshalb deine Lösung infrage stelle.

Jetzt noch mit Python rumzuhantieren ist mir zu kompliziert. Ich verstehe ja nicht einmal diesen Teil, dann werde ich mich nicht noch zusätzlich mit einer Programmiersprache verwirren.

Ich bin auch dafür offen, dass deine Lösung stimmt. Mir kommt ja selbst der Rechenweg aus meiner Fragestellung komisch vor. Ich beschäftige mich schon längere Zeit mit dieser Aufgabe und habe mittlerweile schon einen Knoten im Kopf deshalb.

Deshalb bin ich für jede Erleuchtung dankbar.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:08 Uhr, 14.09.2017

Antworten
"Ich habe die Lösung und den Rechenweg von meinem Mathelehrer. Entschuldige, dass ich deshalb deine Lösung infrage stelle."

Na, wenn es vom Mathelehrer kommt. :-)
Ich bin ein promovierter Mathematiker, gegen einen Mathelehrer muss ich wohl passen. :-))

Aber ich will nicht behaupten, dass meine Lösung richtig ist, das musst Du schon selber entscheiden. Ich habe aber den Verdacht, dass Dein Mathelehrer was Anderes gelöst hat.

Die Logik ist ziemlich einfach: man wählt eine von 10 Ziffern, die doppelt vorkommen soll, dann 42 Stellen, an welchen sie stehen muss, und dann bleiben für die anderen zwei Stellen noch 98 Varianten, 9 für eine Ziffer und noch 8 für die andere, weil die vorherige nicht doppelt vorkommen darf. Daher ist das Ergebnis 109842.

Zum Vergleich, wenn nur die Ziffern 0,1,2 zugelassen wären, würde nach derselben Logik die Zahl 32142=36 Varianten rauskommen. Man kann leicht verifizieren, dass es wirklich genau 36 mit "doppelten Ziffern" gibt:
0012, 0021, 0102, 0201, 0120, 0210, 1020, 2010, 1200, 2100, 1002, 2001,
1102, 1120, 1012, 1210, 1021, 1201, 0121, 2101, 0211, 2011, 0112, 2110,
2201, 2210, 2021, 2120, 2012, 2102, 0212, 1202, 0122, 1022, 0221, 1220.



RickR

RickR aktiv_icon

15:26 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo DrBoogie,

als promovierter Mathematiker musst du dich doch nicht zwangsläufig hinter einem Mathelehrer verstecken. Zumal es in deinem Studium wahrscheinlich mehr in mathematische Tiefen ging, als bei einem Lehrer, der Mathematik auf einem eher "Allgemeinbildungsstandard" kinder-/jugendgerecht vermitteln soll.

Deine letzte Erklärung leuchtet mir absolut ein und ich kann sie auf Anhieb nachvollziehen! Daher erscheint sie mir richtig.

Übrigens bin ich nicht ganz ein Idiot in Python, zumindest ein bisschen weiß ich. Also habe ich interessehalber mal schnell deinen Code eingefügt und bin mit ein paar kleinen Indentations- und Zeichenänderungen auch auf 0,432 gekommen!

Zwar muss ich mir den Code noch mal genau durch den Kopf gehen lassen, doch deine Hilfe war mehr als umfangreich und erleuchtend, echt super! Vielen Dank!!

Python-Laplace
Antwort
Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

18:39 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Die Wahrscheinlichkeit für die mögliche Kombination (a,a, a', a') ist 1/10*1/10*9/10*9/10=0,0081
Da es (4 über 2)=6 Kombinationen gibt ist P=6*0,0081=0,0486
RickR

RickR aktiv_icon

19:11 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Hallo Gerd30.1,

danke für deine Ergänzung. Sie scheint auch Sinn zu machen.
2110 für 2mal die gleiche Zahl,
das mit 2 multipliziert mit den 9 übrigen Zahlen, also 2910,
das multipliziert mit den 6 Möglichkeiten.

Dieser Fall muss dann für die Aufgabe irgendwie ausgeschlossen werden.