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Parkettierung n-Eck

Universität / Fachhochschule

Graphentheorie

Tags: bestimmen, n-Eck

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18:47 Uhr, 13.04.2008

Hallo an alle,

hab mal ein Problem zu dieser Aufgabe:

Bestimmen Sie alle regelmäßigen n-Ecke, mit denen man die Ebene parkettieren kann;

d . h

. in der Ebene sind

k

regelmäßige n-Ecke so um einen gemeinsamen Eckpunkt anzuordnen, dass je zwei n-Ecke keine inneren Punkte (das sind alle Punkte außer den Randpunkten) gemeinsam haben und jedes n-Eck mit den zwei "benachbarten" jeweils eine Kante gemeinsam hat.

Kann mir jemand bei dieser Frage helfen???

m-at-he

08:12 Uhr, 14.04.2008

Hallo,

ein regelmäßiges n-Eck hat immer folgende Eigenschaft:

Es gibt einen Umkreis und jeweils zwei benachbarte Ecken bilden zusammen mit dem Mittelpunkt des Umkreises ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkellänge gleich dem Radius des Umkreises ist und die Basis des Dreiecks ist eine Kante des n-Ecks. Der Winkel am Mittelpunkt des Umkreises ist 360°/n bzw.

2 \cdot \frac{π}{n},

die beiden an der Basis anliegenden Winkel sind gleich und (gemäß Innenwinkelsumme von Dreiecken)
1/2*(180° - 360°/n) = 1/2*((n*180°)/n - (2*180°)/n) = 1/2*((n-2)*180°/n) = (n-2)/n*90° bzw.

\frac{n - 2}{n} \cdot \frac{π}{2}

Daraus folgt, daß der Innenwinkel zwischen zwei Kanten des n-Ecks

(= 2 \cdot

Basiswinkel eines der gleichschenkligen Dreiecke, der benachbarten Dreiecke) eine Größe von
2*(n-2)/n*90° = (n-2)/n*180° bzw.

\frac{n - 2}{n} \cdot π

hat.

Will man nun

k

n-Ecke nach den Vorgaben aneinanderlegen, dann muß der Innenwinkel des n-Ecks ("der", weil ja alle gleich sind bei einem regelmäßigen n-Eck) mal

k

einen ganzen Winkel ergeben:

k \cdot

(n-2)/n*180° = 360° bzw.

k \cdot \frac{n - 2}{n} \cdot π = 2 \cdot π

k \cdot \frac{n - 2}{n} = 2

k = 2 \cdot \frac{n}{n - 2}

Jetzt werden wir mal "mathematisch interdisziplinär" und gehen zur Analysis über:
Wir haben eine gebrochenrationale Funktion

f (x) = 2 \cdot \frac{x}{x - 2}

für

x \geq 3

(daß

n

größer als 3 sein muß, ist ja klar, oder? Demzufolge soll unser Definitionsbereich

x \geq 3

sein!)
für die wir mal eine verkürzte Kurvendiskussion machen:

f (3) = 2 \cdot \frac{3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6

Für

x

gegen

+ \infty

geht

f (x)

gegen 2

f' (x) = 2 \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - x \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}} = 2 \cdot \frac{x - 2 - x}{{(x - 2)}^{2}} = 2 \cdot \frac{- 2}{{(x - 2)}^{2}} = - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}

Es gibt keine lokalen Maxima und keine lokalen Minima und die Funktion hat eine Unstetigkeitsstelle außerhalb des betrachteten Intervalls bei

x = 2

. Damit ist die Funktion im betrachteten Intervall streng monoton fallend (Wert bei

x = 3

ist 6 und Grenzwert gegen unendlich ist

2!

) und erreicht (wird auch wirklich angenommen und ist nicht nur Grenzwert gegen Unendlich!!!) die ganzzahligen Werte

k = 6

(wie wir bereits wissen für

x = 3), k = 5, k = 4

und

k = 3

. Für diese (restlichen) Werte von

k

schauen wir, ob das

x

ganzzahlig ist:

k = 5 : 5 = 2 \cdot \frac{x}{x - 2} - \to 5 \cdot x - 10 = 2 \cdot x - \to 3 \cdot x = 10 - \to x

ist nicht ganzzahlig

k = 4 : 4 = 2 \cdot \frac{x}{x - 2} - \to 4 \cdot x - 8 = 2 \cdot x - \to 2 \cdot x = 8 - \to x = 4

k = 3; 3 = 2 \cdot \frac{x}{x - 2} - \to 3 \cdot x - 6 = 2 \cdot x - \to x = 6

Es gibt also nur 6-Ecke (regelmäßiges 6-Eck), 4-Ecke (regelmäßiges 4-Eck ist ein Quadrat!) und 3-Ecke (regelmäßiges 3-Eck ist gleichseitiges Dreieck) als Möglichkeiten!

mathe_ass aktiv_icon

10:35 Uhr, 14.04.2008

Vielen Dank für die Hilfe!

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