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Polynom 3. Grades bestimmen

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Tags: Verschiedene Angaben sind vorgegeben

tweety1080 aktiv_icon

10:30 Uhr, 17.04.2012

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches die x-Achse bei 3 und die y-Achse bei

- 6

schneidet und bei

x = 1

und

x = - 1

Extremstellen hat.

Zwei Punkte sind ja dort schon abzulesen, aber mir fehlt der Anfang wie ich vorgehen soll.
Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

irena

10:37 Uhr, 17.04.2012

Hallo,
die allgemeine Form lautet:

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

4 Unbekannte , also brauchst du 4 Angaben->4 Gleichungen:

1) (3 | 0)

2) (0 | - 6)

3) f' (1) = 0

4) f' (- 1) = 0

Einsetzen reicht das?

Edddi aktiv_icon

10:39 Uhr, 17.04.2012

Du hast:

f (0) = - 6

f (3) = 0

f' (1) = 0

f' (- 1) = 0

;-)

tweety1080 aktiv_icon

10:51 Uhr, 17.04.2012

Wie setze ich diese 4 Angaben denn in die Formel?

Edddi aktiv_icon

10:52 Uhr, 17.04.2012

...und aus Symmetriegründen (die Extremstellen) dürfte das

b \cdot x^{2}

entfallen:

aus

f (0) = - 6

erhälst du dann für

d = - 6

Fazit:

f (x) = a \cdot x^{3} + c \cdot x - 6

f' (x) = 3 \cdot a \cdot x^{2} + c

mit

f' (1) = 0

erhälst du dann:

3 \cdot a + c = 0 \Rightarrow c = - 3 \cdot a

Dies in

f (x)

eingesetzt liefert:

f (x) = a \cdot x^{3} + c \cdot x - 6

f (x) = a \cdot x^{3} - 3 \cdot a \cdot x - 6

Nun kannst du

f (3) = 0

einsetzen:

0 = a \cdot 3^{3} - 3 \cdot a \cdot 3 - 6

...und somit a und dann

c

bestimmen.

;-)

irena

10:56 Uhr, 17.04.2012

Hallo,

1) (3 | 0) : 0 = 27 a + 9 b + 3 c + d

2) (0 | - 6) : - 6 = 0 a + 0 b + 0 c + d \to d = - 6

für

3)

und

4)

brauchst du

f' (x) = 3 a \cdot x^{2} + 2 b \cdot x + c

3) 0 = 3 a + 2 b + c

4) 0 = 3 a - 2 b + c

tweety1080 aktiv_icon

11:43 Uhr, 17.04.2012

hab ich nun berechnet, aber das a kommt mir so hoch vor, kannst du mal zum Vergleich die Rechnung weiterführen, damit ich weiß wo mein Fehler ist?

irena

11:53 Uhr, 17.04.2012

Hallo,

1) + 2) 6 = 27 a + 9 b + 3 c | \cdot \frac{2}{3}

3) + 4) 0 = 6 a + 2 c \to c = - 3 a

1) + 2) 4 = 18 a + 6 b + 2 c

4) \cdot 3 \to 0 = 9 a - 6 b + 3 c

4 = 27 a + 5 c = 27 a + 5 (- 3 a) = 12 a

\to a = \frac{1}{3}

\to c = - 1

\to b = 0

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 6

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