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Polynomdivision

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie funktioniert eine Polynomdivison?

Wie faktorisiere ich einen Term höheren Grades?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Um die Polynomdivision zu verstehen, sollte man das Problem rückwärts betrachten.

Gehen man von dem Term

(x - 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 1)

aus,

so wird dieser für

x_{1} = 1, x_{2} = - 2

und

x_{3} = - 1

null (einfach einsetzen).
Der Termin ist also bereits faktorisiert.

Die Aufgabe wird allerdings so gestellt, dass der Term ausmultipliziert angegeben wird:

Faktorisiere den Term

x^{3} + 2 x^{2} - x - 2

Erster Schritt: Eine Lösung raten

Wir beginnen bei einfacheren Aufgaben immer mit

1, - 1,2, - 2, . .

. und setzen diese Zahlen nacheinander in den Term ein, bis dieser null wird.

In diesem Beispiel greift gleich die 1.

Zweiter Schritt: Durch den Linearfaktor teilen

Wir wissen, dass der Term die Lösung 1 hat.
Somit wissen wir, dass der Faktor

(x - 1)

Teil des Term ist.

\Rightarrow

Man kann also den Term auch so schreiben:

(x - 1) \cdot (2

. Faktor)

= x^{3} + 2 x^{2} - x - 2

Es ist nun zu bestimmen wie der 2. Faktor aussieht. Dazu teilt man durch den Linearfaktor der gefundenen Lösung.

d08ab29b286034c203af7c6382fae5d4

Übrig bleibt der Faktor

x^{2} + 3 x + 2

.

Somit wissen wir nun:

(x - 1) \cdot (x^{2} + 3 x + 2) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2

x^{2} - 3 x - 2

ein quadratischer Term ist, brauchen wir für ihn keine Polynomdivision mehr.

Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta kann man diesen Term leicht zerlegen.

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{- 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 \pm 1}{2}

x_{1} = - 1, x_{2} = - 2

Somit lässt sich der Ausdruck

x^{2} + 3 x + 2

auch faktorisiert schreiben:

x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) \cdot (x + 2)

Damit wäre unser Ausgangsterm faktorisiert:

x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = (x - 1) \cdot (x^{2} + 3 x + 2) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)

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